Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis. Er wird mit dem Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet oder mit ${\vec {\nabla }}$ (im englischen Sprachraum ${\underline {\nabla }}$), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Es handelt sich aber um einen Pseudovektor. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Nabla wird für die kürzere Schreibweise des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt.

Im n-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ liefert ${\vec {\nabla }}$ alle partiellen Ableitungen einer Funktion f von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$, dies ist genau der Gradient von f.

Als n-Vektor aufgefasst ist

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

Der differenzierende Charakter des Operators wirkt nach rechts (auf die rechts stehenden Zeichen), während der Vektorcharakter wie ein normaler Vektor verwendet wird.

In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.

Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion $f({\vec {r}},t)$ mit ${\vec {r}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ beispielsweise ist

${\vec {\nabla }}_{\vec {r}}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

im Gegensatz zu

${\vec {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial {f}}{\partial t}}\right)$.

Spezialfall im R³

Die folgenden Formeln gelten für alle dreidimensionalen Räume. Hier erläutert am Beispiel des in der Physik am häufigsten vorkommenden Falles eines dreidimensionalen Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$ mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z (kartesisches Koordinatensystem).

• Angewandt auf ein Skalarfeld ${\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname {grad\ } \Phi ={\vec {\nabla }}\Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, ${\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}$ sind die kartesischen Einheitsvektoren des $\mathbb {R} ^{3}$.

• Angewandt auf ein Vektorfeld ${\begin{matrix}{\vec {V}}(x,y,z)\end{matrix}}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname {div\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}},$

also einem Skalarfeld.

• Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt

$\operatorname {rot\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}$

wieder zu einem Vektorfeld.

Rechenregeln

(siehe auch Formelsammlung Nabla-Operator)
Sind $\psi ,~\varphi$ und $f$ Skalarfelder (Funktionen) und ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ Vektorfelder, so gilt:

${\vec {\nabla }}f(r)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

${\vec {\nabla }}(\psi \varphi )=\psi {\vec {\nabla }}\varphi +\varphi {\vec {\nabla }}\psi$ (Produktregel für Gradient)

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

${\vec {\nabla }}\cdot (\varphi {\vec {A}})=\varphi {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\varphi =\Delta \varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})=0$

${\vec {\nabla }}\times \varphi {\vec {A}}=\varphi {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}-{\vec {A}}\times {\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})+{\vec {A}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})-({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.