Lineare Funktion

Unter einer linearen Funktion versteht man oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, die sich in der Form

$f(x)=m\cdot x+n$

mit $m,n\in \mathbb {R}$ schreiben lässt. Es handelt sich um eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, wodurch sich der Name ableitet (von lateinisch linea ‚(gerade) Linie‘).

Eine lineare Funktion im oben beschriebenen Sinne ist keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Vielmehr handelt es sich um eine affine Abbildung, weshalb man auch von einer affin-linearen Funktion spricht. Um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall $n=0$, also $f(x)=mx.$ Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionaität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall $n\neq 0$ auch linear-inhomogene Funktion genannt.

Lineare Funktionen gehören zu den grundlegenden Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen mithilfe linearer Funktionen leichter lösen; daher versucht man oft, komplizierte Zusammenhänge durch lineare Funktionen zu approximieren.

Graph

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion $x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x+2$

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten $(x|y)$ gilt

$y=m\cdot x+n$

mit reellen Zahlen $m$ und $n,$ wobei $x$ (die Abszisse) die unabhängige und $y$ (die Ordinate) die abhängige Variable ist. Die Bezeichnung der beiden Konstanten mit $m$ und $n$ ist beliebig, in der Literatur finden sich zahlreiche andere Bezeichnungsweisen.

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

• Die Zahl $m$ gibt die Steigung der Geraden an.
• Die Zahl $n$ ist der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt, die Inhomogenität oder die Verschiebungskonstante.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur $y$-Achse, da damit einem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-)Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte $(x_{1}|y_{1})$ und $(x_{2}|y_{2})$ auf dem Graphen der linearen Funktion $f$ liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung $m$ lässt sich berechnen mit

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Der y-Achsenabschnitt $n$ ergibt sich mit

$n=y_{1}-m\cdot x_{1}$ oder $n=y_{2}-m\cdot x_{2}.$

Der gesuchte Funktionsterm $f(x)$ ist also gegeben durch

$f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+\left(y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\right)$

oder kürzer durch

$f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}.$

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f$ mit $f(x)=mx+n$ heißt lineare Funktion. Im Fall $m\neq 0$ wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.

Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt $P$ mit der $x$-Achse: $P(x_{P}|0)\Rightarrow f(x_{P})=0$

Schnittpunkt $Q$ mit der $y$-Achse: $Q(0|y_{Q})\Rightarrow y_{Q}=f(0)$

Steigung

Die Steigung $\tan \alpha$ des Graphen einer linearen Funktion $f$ lässt sich wegen $\tan \alpha =m$ vom Koeffizienten in der Funktionsgleichung $f(x)=mx+n$ ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

$\tan \alpha ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Funktionsgleichung aufstellen

• Die Steigung $m$ und ein Punkt $P_{1}(x_{1}|y_{1}),$ der auf der Geraden liegt, seien bekannt.

Ansatz: $f(x)=mx+n$

$P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}$

• Die Koordinaten zweier Punkte $P_{1}(x_{1}|y_{1})$ und $P_{2}(x_{2}|y_{2}),$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ berechnet, dann damit $n$:

$P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}$

oder

$P_{2}(x_{2}|y_{2})\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})=y_{2}\quad \Rightarrow \quad mx_{2}+n=y_{2}\quad \Rightarrow \quad n=y_{2}-mx_{2}$

Schnittpunkt zweier Geraden

Schneiden sich zwei durch $f(x)$ und $g(x)$ beschriebene Geraden, so muss im Schnittpunkt die Bedingung

$f(x)=g(x)$

erfüllt sein. Die Lösung $x_{S}$ dieser Gleichung ist die $x$-Koordinate des Schnittpunktes und $y_{S}=f(x_{S})=g(x_{S})$ seine $y$-Koordinate.

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ gilt:

$m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$m_{1}=-{\frac {1}{m_{2}}}$

$m_{2}=-{\frac {1}{m_{1}}}$

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung einer linearen Funktion $f\left(x\right)=mx+n$ ist $f'\left(x\right)=m$, also eine konstante Funktion.

Stammfunktionen von $f$ haben die Gestalt $F(x)={\frac {m}{2}}x^{2}+nx+c$. Für $m\neq 0$ handelt es sich um quadratische Funktionen, für $m=0$ um lineare Funktionen.

Verhalten im Unendlichen

Ist der Steigungsparameter $m$ einer linearen Funktion $f(x)$ positiv, so gilt $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ und $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$. Ist $m$ negativ, so gilt umgekehrt $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty$ und $\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty$. Beim Sonderfall $m=0$ liegt eine konstante Funktion vor und es gilt $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }f(x)=n$.

Lineare Funktionen mehrerer Veränderlicher

Eine (affin) lineare Funktion zweier Veränderlicher $x$ und $y$ ist eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, die sich in der Form

$f(x,y)=ax+by+c$

mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ schreiben lässt. Es handelt sich um eine bivariate Polynomfunktion höchstens ersten Grades. Der Graph linearen Funktion zweier Veränderlicher ist eine Ebene.

Allgemein ist eine (affin) lineare Funktion mehrerer Veränderlicher $x_{1},\ldots x_{n}$ eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, die sich in der Form

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+c$

mit $a_{1},\ldots ,a_{n},c\in \mathbb {R}$ schreiben lässt. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Hyperebene.

Weblinks

Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern

Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: ${\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}$: Mathematik für die Schule

• Lineare Funktionen – Einführung für Schüler (Video)

Literatur

• Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61–74.