Funktion (Mathematik)

Vorlage:Mathematische Symbole Eine Funktion - häufig wird synonym auch der Begriff Abbildung verwendet - drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

In der Schulmathematik lernt man beispielsweise einfache Funktionen kennen wie: y = 2x + 3 oder y = x².

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A (dem x-Wert) genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B (dem y-Wert) zu. Die dazugehörige Vorschrift nennt man Funktionsgleichung. Eine Funktion ist daher eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. Die Funktions-Eigenschaft ist also: $\forall \left(f:A\to B\right):\forall \left(a\in A\right):\exists !\left(b\in B\right):\left(\left(a,b\right)\in f\right)$

Schreibweisen und Sprechweisen

$f\colon A\to B$
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f ⊆ A × B,
"Funktion f von A nach B"

$f\colon x\mapsto f(x)$
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.
"x wird abgebildet auf f von x"

"y ist f von x".

Beispiele

Die Normalparabel: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;x\mapsto f(x)=x^{2}$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;\;x\mapsto s(x)=x+1$

Wichtige Begriffe

Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }.
Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein x im Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt. Entsprechend ist eine Fixgerade eine Gerade g, deren Bild unter der Funktion f wieder g ist.

Eigenschaften von Funktionen

Injektivität
Surjektivität
Bijektivität (sowohl injektiv als auch surjektiv)
Idempotenz

Funktionen die Strukturen beachten

Monotonie
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
glatte Funktion
Integrierbarkeit
holomorphe Funktion
Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Reelle Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktion:

$f:{\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }$

homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
Potenzfunktion
Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}$
Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
Transzendente Funktion:
Funktion die nicht analytisch sind:
konvexe Funktion

Weitere Funktionen

Siehe auch

Externe Verweise