Diskussion:Komplexe Zahl

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Archiv

2004 bis 2010 ab 2011

Wie wird ein Archiv angelegt?

Eine reelle Multiplikation einsparen

Der Kniff, wie man bei der Multiplikation statt vier reellen Multiplikationen nur drei benötigt ist IMHO an dieser Stelle nicht relevant. Er stört den Lesefluss, des ansonsten gut strukturierten Artikels. Ich würde ihn gerne löschen. --Suricata (Diskussion) 19:17, 6. Mai 2016 (CEST)

ich finde es zwar nicht so störend, aber man kann sicher an der aktuellen Stelle gut darauf verzichten. Eine Alternative zur Löschung wäre noch, das Ganze in einen separates und noch auszubauendes Kapitel zu numerischen und algorithmischen Fragen bei der Softwareimplementierung zu verschieben.--Kmhkmh (Diskussion) 20:38, 6. Mai 2016 (CEST)

Ich habs nach unten geschoben. --Suricata (Diskussion) 08:12, 7. Mai 2016 (CEST)

Notation, Form, Darstellung

Ich verstehe den Unterschied zwischen diesen drei Begriffen nicht, habe aber das Gefühl, dass sie nicht konsequent verwendet werden. Zwei Beispiele:

• Manchmal ist von Polarform, dann wieder von Polardarstellung die Rede.
• Zitat: "Besonders in der Physik wird ... der Notation der komplexen Zahlen in Polarform der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben."

Gibt es einen Mathematiker der mir die Feinheiten erklären kann und eventuell Unstimmigkeiten im Artikel beseitigt? --Herbmuell (Diskussion) 16:17, 15. Mai 2016 (CEST)

"Polardarstellung" und "Polarform" sind Synonyme, bzw. "Polardarstellung" ist eine Kurzform für "Darstellung in Polarform". Der zitierte Satz ergibt in der Tat keinen Sinn. Gemeint ist wohl "algebraische Form" statt "Vektorform", d.h. Darstellung durch Real- und Imaginärteil. Aber natürlich ist auch die Polardarstellung die Darstellung eines Vektors. Ich lösche deshalb den Satz. --Digamma (Diskussion) 13:16, 16. Mai 2016 (CEST)

Na gut, vielen Dank. Ich habe im Abschnitt "Polarform" 3 Änderungen vorgenommen, 2 davon hoffentlich in deinem Sinn oben. Schau's dir bitte mal an wenn du Zeit hast. --Herbmuell (Diskussion) 17:42, 19. Mai 2016 (CEST)

Ist aus meiner Sicht OK. --Digamma (Diskussion) 20:57, 19. Mai 2016 (CEST)

Geschichte

"Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte zu einer schiefen, aber beibehaltenen Bezeichnung entwickelt."

Diese Aussage ist in sich schief, weil auch die Reellen Zahlen weiterhin als imaginant betrachtet werden müssen. Reale Ergebnisse erhält man nur mit Rundung... --77.7.186.61 22:23, 11. Nov. 2016 (CET)

Ja und? --Digamma (Diskussion) 00:04, 12. Nov. 2016 (CET)

Hauptwert

Ich hatte immer angenommen, die Konvention für den Hauptwert φ₀ sei

$\varphi _{0}\in [0,2\pi [.$

Mich überrascht ein wenig, dass dies hier anders steht. Kann man natürlich auch machen, aber wie gesagt, obige Konvention schien mir geläufiger.--Slow Phil (Diskussion) 12:22, 20. Jan. 2017 (CET)

Gibt es die Wurzel aus -1?

@HilberTraum:, können sie mir bitte die vielen Zusammenhänge nennen, in denen es offenbar die Wurzel aus -1 gibt? --Alva2004 (Diskussion) 09:19, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ob man i als Wurzel aus -1 bezeichnet, ist reine Konvention. Es gibt viele, vor allem ältere Texte, wo das geschieht. Dies impliziert nicht, dass die üblichen Regeln für das Rechnen mit Wurzeln gelten. Deshalb ist die Tatsache, dass die Anwendung dieser Regeln zu Widersprüchen führt, auch kein Argument für die Nichtexistenz. --Digamma (Diskussion) 09:32, 1. Jul. 2017 (CEST)

Sie reden von einer Bezeichnung, ich von einer Existenz. Offenbar setzt $i={\sqrt {-1}}$ wegen des Widerspruchs $-1={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$ die Produktregel ${\sqrt {w}}{\sqrt {z}}={\sqrt {wz}}$ außer Kraft. Gibt es irgendjemanden der das tut? --Alva2004 (Diskussion) 09:46, 1. Jul. 2017 (CEST)

Das wird eigentlich in jeder Mathematiksoftware so gemacht (Matlab, R, Maple usw.): Da ergibt sqrt(-1) das Ergebnis i. Aber im Artikel steht ja nur, dass i als eine Wurzel aus -1 aufgefasst werden kann. Viel „harmloser“ kann das doch gar nicht mehr formuliert werden. Es wird weder von einer Quadratwurzelfunktion gesprochen noch wird die Schreibweise ${\sqrt {-1}}$ verwendet. -- HilberTraum (d, m) 10:06, 1. Jul. 2017 (CEST)

Doch, das kann man harmloser formulieren, nämlich so wie ich es getan habe. Es kann nicht aufgefasst werden, sondern es wird, weil es probat und einfach ist und Menschen widersprüchliche Wesen sind. Es ist eben viel einfacher ${\sqrt {-5}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {5}}=i{\sqrt {5}}$ zu schreiben, anstatt ${\sqrt {-5}}={\sqrt {i^{2}5}}={\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {5}}=i{\sqrt {5}}$. In Rechenmethoden der Physik wird vom formalen Wurzelausdruck gesprochen. Auch das ist harmloser. Ich habe mich immer gefragt, was an der Definition von $i={\sqrt {-1}}$ so verkehrt ist und warum meistens $i^{2}=-1$ definiert wird. Darauf will ich eine Antwort geben. Was ist so verkehrt DARAN? Ich hab das jetzt mal harmloser formuliert, hoffe das passt nun. --Alva2004 (Diskussion) 10:21, 1. Jul. 2017 (CEST)

Verkehrt daran ist ganz einfach, dass $i={\sqrt {-1}}$ rasend schnell zu Widerspruechen fuehrt. Die Definition von "Irgendetwas", das man i nennt und die Loesung der Gleichung $x^{2}=-1$ darstellt, fuehrt dagegen nicht zu Widerspruechen, sondern zu einer sinnvollen Erweiterung der reellen Zahlen, den komplexen Zahlen. Die letzte Ergaenzung halte ich deshalb fuer falsch; es wird nicht - auch in der aelteren Literatur - so definiert; es wird - rein formal - lediglich so aufgefasst/interpretiert. MfG -- Iwesb (Diskussion) 11:11, 1. Jul. 2017 (CEST)

Die oben angeführte Produktregel gilt doch ohne nur für positive bzw. nicht-negative reelle Zahlen. Ich verstehe auch nicht so ganz, wie man $i={\sqrt {-1}}$ als Definition lesen will, da die rechte Seite eigentlich (im der herkömmlichen Verwendung des Wurzelzeichens) eigentlich nicht definiert.--Kmhkmh (Diskussion) 11:34, 1. Jul. 2017 (CEST)

Offensichtlich hab ich hier in ein Wespennest gestochen und das tut mir Leid. Nun bitte ich allerseits sich zu beruhigen und konstruktive Beiträge beizusteuern!

• @Kmhkmh: Die Produktregel gilt im komplexen, und wenn dort $i={\sqrt {-1}}$ gesetzt wird, dann ergibt sich "mein" Widerspruch.
• @Iwesb: genauso hab ich es doch geschrieben: es führt schnell auf eine Widerspruch. Können sie bitte Quellen und von ihnen akzeptierte Widersprüche beisteuern, die $i={\sqrt {-1}}$ nach sich zieht?

Dann plane ich einen eigenen Abschnitt

== Wurzel aus -1 </h2> ==

Gelegentlich, vor allem in der älteren Literatur[Quellen], wird die imaginäre Einheit mit einem formalen Wurzelausdruck $i={\sqrt {-1}}$ veranschaulicht. Dies führt schnell zu Widersprüchen[Quellen]. Die Definition der imaginären Einheit, die die Lösung der Gleichung $x^{2}=-1$ darstellt, ist jedoch widerspruchsfrei[Quellen], und führt zu einer sinnvollen Erweiterung der reellen Zahlen, den komplexen Zahlen.

Beispiele für Widersprüche, auf die $i={\sqrt {-1}}$ führt:

• ...
• ...

--Alva2004 (Diskussion) 13:31, 1. Jul. 2017 (CEST)

Nochmal: "Wurzel aus -1" ist nur eine Benennung und ${\sqrt {-1}}$ ist nur ein Symbol. Das führt nicht zu Widersprüchen, weil weder die Verwendung der Bezeichnung "Wurzel" noch die des Wurzel-Symbols implizieren, dass die Rechenregeln für Wurzeln oder gar für Potenzen gelten.

Die Potenzgesetze gelten übrigens im Komplexen nur für ganzzahlige Exponenten, aber nicht für gebrochene. Die Potenz- oder Wurzelgesetze gelten auch nicht für dritte oder fünfte Wuzeln aus negativen Zahlen, obwohl man diese Wurzeln problemlos definieren kann.

Ja, die Tatsache, dass die Rechenregeln für Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht gelten, ist ein Grund Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht zu definieren oder nicht zu verwenden. Andererseits kann man diese Wurzeln aber verwenden, wenn man sich dessen bewusst ist, dass die Wurzel- und Potenzgesetze für sie nicht bzw. nur eingeschränkt gelten. "${\sqrt {-1}}$" wird auch oft ein ein Symbol verwendet, das nicht als zusammengesetzt aus Wurzelsymbol und Zahl "-1" aufgefasst wird, sondern als ein einziges Symbol, i. --Digamma (Diskussion) 16:34, 1. Jul. 2017 (CEST)eine alternative Schreibweise, für

+1 --Kmhkmh (Diskussion) 16:44, 1. Jul. 2017 (CEST)

+1 (= noch 1 drauf)

Sehr richtig! Die Funktionalgleichung $a^{1/n}b^{1/n}=(ab)^{1/n}$ mit $2\leq n\in \mathbb {N}$ gilt NICHT für jede beliebige Wahl der Wurzeln. Genauer: Es gilt nur $\left(a^{1/n}b^{1/n}(ab)^{-1/n}\right)^{n}=1$ oder $a^{1/n}b^{1/n}=\zeta (ab)^{1/n}$ mit einem $\zeta ^{n}=1$. Benutzer Alva2004 hätte also NICHT die Wurzel aus -1 nehmen müssen, denn genauso führt $-1={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}={\sqrt {1\cdot 1}}={\sqrt {1^{2}}}=1$ zum Widerspruch. Soll man deshalb ${\sqrt {1}}$ verbieten?

Auch Hauptwerte retten nicht vor solchen kleinen Stolpersteinen (= „mehrdeutigen Funktionen“), mit denen übrigens die Herren Euler und Gauß schon sehr souverän umgegangen sind.

@Digamma: Ich sehe übrigens ${\sqrt {-1}}$ als das Primäre und $\mathrm {i}$ als das Sekundäre, weil es zu ${\sqrt {-1}}$ wesentlich mehr Vorbedeutung („Wurzelsymbol“!) gibt und $\mathrm {i}$ eine zwar schon lange bekannte, aber doch irgendwo recht freie und willkürliche Setzung ist; ja, es soll Leute geben, die's lieber mit $\mathrm {j}$ halten. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:09, 1. Jul. 2017 (CEST)

Also in der modernen Mathematikliteratur hat sich $\mathrm {i}$ meines Wissens durchgesetzt, ${\sqrt {-1}}$ wird da praktisch nicht mehr verwandt und $j$ wird gerne in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften verwendet, aber kaum in der Mathematik.--Kmhkmh (Diskussion) 19:28, 1. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Ja, in der Mathematik hat sich $\mathrm {i}$ durchgesetzt, so sehr, dass es in tiefere emotionale Schichten des Unbewussten eingedrungen ist. Der Ausgangspunkt war aber „Symbol“ („zusammengesetztes“ oder „einziges“). Und da ist halt ${\sqrt {-1}}$ viel näher an einem Verständnis oder einer Herleitung als $\mathrm {i}$, welches ja total aus dem heiteren Himmel fällt. Anders ausgedrückt: $\mathrm {i}$ ist eine alternative, kurze Schreibweise für ${\sqrt {-1}}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:58, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ja, das kann man so sehen. Man kann aber auch sagen, dass ${\sqrt {-1}}$ eine historische Schreibweise für $i$ ist, die man innerhalb der Mathematik nicht zuletzt wohl auch deswegen aufgegeben hat, weil sie, wie man an der Diskussion hier sieht, immer wieder zu Irritationen und Missverständnissen führt. Insofern kann man diese Nähe zur Herleitung auch eher kritisch sehen. Was man nun als Alternativschreibweise und was eigentliche Schreibweise auffasst hängt dann davon ab, wo man den Betrachtungschwerpunkt setzt. Schaut man auf die historische Entwicklung so ist wohl die $i$ die Alternative, schaut man jedoch auf die moderne Darstellung (in der Mathematik), dann ist wohl ${\sqrt {-1}}$ die (veraltete) Alternative.--Kmhkmh (Diskussion) 20:12, 1. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Tut mir jetzt ein bisschen leid. An der Diskussion hier kann man überhaupt nichts erkennen, schon gar nicht, ob $\mathrm {i}$ oder ${\sqrt {-1}}$ „mathematisch besser“ ist. ($\mathrm {i}$ sieht allemal kürzer aus, sagt aber eigentlich gar nichts.) Der „Widerspruch“, den Alva2004 entdeckt zu haben glaubte – und der keiner ist, wie oben gezeigt, weil »gilt NICHT für jede beliebige Wahl der Wurzeln« –, hat weder mit -1 noch mit ${\sqrt {-1}}$ noch mit $\mathrm {i}$, sondern nur mit der Zweideutigkeit der Wurzelfunktion etwas zu tun. (Der gleiche „Widerspruch“ besteht übrigens auch mit $\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}={\sqrt {(-\mathrm {i} )^{2}}}=-\mathrm {i}$.)
Was man allerdings vielleicht erkennen muss, dass bestens ausgebildete Mathematiker sich (heute noch) mit mehrdeutigen Funktionen derart schwer tun. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:57, 1. Jul. 2017 (CEST)

Es geht ja auch nicht um den realen mathematischen Zusammenhang sondern den assoziierten (falschen), ohne die ${\sqrt {-1}}$-Notation würde man doch gar nicht auf die Idee kommen die Rechengesetze für Wurzeln (falsch) anwenden zu wollen. In diesem Sinne geht aus auch nicht um "mathematisch besser" sondern um "didaktisch besser" und ist vermutlich einer der Gründe aus denen sich $i$ bei den Mathematikern durch gesetzt hat.--Kmhkmh (Diskussion) 22:24, 1. Jul. 2017 (CEST)

Ja, da bin ich jemand auf den Leim gegangen, dem ich vertraute... Aber ist das ganze nicht doch eine ausführlichere Auseinandersetzung in einem eigenen Abschnitt wert? In K. Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger findet sich eine zitierbare Quelle, die es auf den Punkt bringt:

„Damit ist schon die Gleichung $i={\sqrt {-1}}=(-1)^{1/2}$ nur halb richtig, denn links steht eine feste komplexe Zahl und rechts ein Objekt, das die beiden Werte i und -i annehmen kann“

– K. Fritzsche

und dies kann zu Irritationen führen, wie beispielsweise die oben angegebenen "Gleichungen". Fritzsche schreibt auch, "Fortgeschrittene Studenten foppen nun Anfänger gerne mit folgender Rechnung" und meint damit die von mir angegebene Gleichungskette. Ich würde dem gerne einen Abschnitt widmen:

== Wurzel aus -1 ==

Die imaginäre Einheit wird gelegentlich mit einem formalen Wurzelausdruck ${\rm {i={\sqrt {-1}}}}$ geschrieben. Problematisch an dieser Gleichung ist, dass links eine feste komplexe Zahl steht und rechts ein Objekt, das die beiden Werte i und -i annehmen kann. Dieser Stolperstein wird durch die Einführung von i als der Zahl mit der Eigenschaft i² = -1 umgangen.

Das Problem dabei tritt in der folgenden Gleichungskette zu Tage, mit der fortgeschrittene Studenten Anfänger gerne foppen<ref>Fritzsche</ref>:

$-1={\rm {i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\;{\stackrel {a}{=}}\;{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}\;{\stackrel {b}{=}}\;1}}$

In dieser Gleichungskette sind alle Teilgleichungen anzuzweifeln, wo ein Wurzelausdruck mit einem festen Wert verglichen wird. Wenn man ${\rm {i={\sqrt {-1}}}}$ akzeptiert, sind das vor allem die Gleichheitszeichen a und b. Links vom Gleichheitszeichen a steht ein fester Wert -1, rechts davon eine Quadratwurzel, die im komplexen immer zwei Werte annehmen kann. Beim Gleichheitszeichen b wird die im reellen geltende Vereinbarung verwendet, dergemäß ${\sqrt {x}}$ den positiven Wert der Wurzel meint. Allerdings wird hier im komplexen gerechnet, wo es keinen Positivitätsbegriff gibt. Links vom letzten Gleichheitsszeichen steht also eine Wurzel, die die Werte +1 und -1 annehmen kann, und die darf nicht mit der festen Zahl 1 gleichgesetzt werden.

--Alva2004 (Diskussion) 08:00, 2. Jul. 2017 (CEST)

Vielleicht wäre das Ganze besser in einem separaten Artikel aufgehoben, auf en.wp gibt es dafür z.B. en:Mathematical fallacy, eine deutsche Variante scheint noch zu fehlen, aber das wäre ja eine Gelegenheit diese in Angriff zu nehmen.--Kmhkmh (Diskussion) 08:04, 2. Jul. 2017 (CEST)

Nach wie vor fehlt mir im Artikel der Vergleich der Definitionen von $i={\sqrt {-1}}$ und $i^{2}=-1$ und eine Begründung, warum im Artikel der letzteren der Vorzug gegeben wird. Ich finde auch lehrreich, was am Fehlschluss -1 = 1 falsch ist. Falls nichts dagegen spricht, werde ich obige Passage nach dem 15.7.2017 im Artikel einfügen.

Einschub:@Benutzer:Alva2004:
(1) Beide Definitionen bedeuten im Prinzip dasselbe. (Die eine ($i={\sqrt {-1}}$) ist explizit, und die andere ($i^{2}=-1$) implizit.) Gibt es nämlich eine Lösung $y$ von $y^{2}=x$, dann ist die Quadratwurzel-Funktion und das Quadratwurzel-Zeichen so definiert, dass ${\sqrt {x}}:=y$ (eines aus $\{y,-y\}$, siehe (2)).
(2) Wegen $1^{2}=1\cdot 1=1=(-1)\cdot (-1)=(-1)^{2}$ lässt sich eine Umkehrfunktion $g\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ des Quadrierens mittels der Maßgabe $g(x)^{2}=x$ nicht definieren (Verletzung der Rechtseindeutigkeit). Wird der Wertebereich eingeschränkt (bzw. bei der Originalfunktion der Definitionsbereich) bspw. durch $g\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$, dann klappt es, und man hat die Wurzelfunktion.
(3) Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Funktion anwenden, bspw. 1 addieren. Man kann auch die Wurzel ziehen. Allerdings nicht als Umkehrung des Quadrierens. Angesichts der Feststellung (2) (der Nicht-Funktionalität, der „Mehrdeutigkeit“) muss man darauf achten, dass man in denselben Wertebereich hinein die Wurzel zieht. Also folgt aus der Anwendung von ${\sqrt {}}$ auf beide Seiten von     $1^{2}=1\cdot 1=1=(-1)\cdot (-1)=(-1)^{2}$     das richtige Ergebnis   $1={\sqrt {1^{2}}}={\sqrt {-1^{2}}}=1$. Denn mit der Wurzelfunktion ${\sqrt {}}$ ist niemals ${\sqrt {1}}=-1$, sondern immer ${\sqrt {1}}=+1$. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:29, 3. Jul. 2017 (CEST)

en:Mathematical fallacy gefällt mir, ich werd mal sehen, was ich bis dahin machen kann. --Alva2004 (Diskussion) 09:56, 3. Jul. 2017 (CEST)

Ok, nochmal (obwohls die Kollegen doch bereits viel besser als ich erklaert haben). Es gibt keine Wurzel aus -1; die Wurzelfunktion ist fuer negative reelle Zahlen nicht definiert. Ein "Rechenausdruck" ${\sqrt {-1}}$ ist nicht definiert, macht keinen Sinn.

Einschub:@Benutzer:Iwesb:
(1) Hier steht: „Es gibt keine Wurzel aus -1.“ Das ist nur sehr eingeschränkt richtig. Richtig ist: „Es gibt keine reelle Wurzel aus -1.“
(2) Hier steht: „Die Wurzelfunktion ist fuer negative reelle Zahlen nicht definiert.“ Das ist richtig falsch! Eine Wurzel lässt sich in allen Körpern $K$ definieren. Die Frage ist dann, ob diese Wurzel in $K$ existiert. (Definition und Existenz sind zwei sehr verschiedene Dinge!!) Wenn sie nicht existiert, dann erweitern die Mathematiker den Körper, sofern das geht – und bei Wurzeln geht das immer, nämlich zu $K[X]/(X^{2}-a)$ mit der Unbestimmten $X$ und dem Radikanden $a$. Genau eine solche Körpererweiterung der reellen Zahlen sind die komplexen Zahlen. Und jetzt gibt es auch ein $\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i} ^{2}=-1$, also eine Quadratwurzel aus $-1$. Damit gibt es auch eine Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{-}\rightarrow \mathbb {C}$ mit $f(x)=\mathrm {i} {\sqrt {-x}}$ mit dem reellen $(-x).$ (Manche Autoren definieren auch $\mathbb {C} :=\mathbb {R} ({\sqrt[{4}]{1}})$ und meinen damit naheliegenderweise, dass auf jeden Fall eine primitive vierte Einheitswurzel zu nehmen ist. Man kann auch eine achte Wurzel aus 1 definieren. Sie existiert, und eine primitive davon ist gleichzeitig eine Quadratwurzel aus $\mathrm {i}$, nämlich $(1+\mathrm {i} ){\sqrt {2}}/2$ ).
(3) Hierunter steht: „Damit "Rechnen" darf man nicht.“ Das ist nochmals richtig falsch! Natürlich darf man damit rechnen. Das Rechnen mit den komplexen Zahlen ist von allergrößter Bedeutung. Nur darf man nicht meinen, die Umkehrung des Quadrierens sei eine Funktion, wie es leider in den Beispielen hier (teilweise) geschehen ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:29, 3. Jul. 2017 (CEST)

Man kann "formal" ein Symbol definieren als "Loesung" der Gleichung $x^{2}=-1$. Wie man das nennt, ist voellig egal, gebraeuchlich ist $i$, $j$ und manch einer mag auch mal geschrieben haben ${\sqrt {-1}}$. Aber das ist lediglich ein Symbol, damit "Rechnen" darf man nicht (warum, dafuer stehen jetzt etliche Beispiele hier). Das ist keine Erweiterung der Wurzelfunktion auf negative Zahlen. Ein analoges Beispiel ist in der Bruchrechung das Erweitern mit Zahlen ungleich 0. Wenn ich das mit 0 mache, dann kann ich alles moegliche beweisen; es ist einfach nicht zulaessig (und wenn du jetzt einen Physiker fragst, der sagt schulterzuckend "Renormierung"). Also wenn man irgendetwas in den Artikel schreiben will, dann muss es dieser Unterschied zwischen Symbol und "Erweiterung der Wurzelfunktion" sein; aber das bereitet mir derzeit deutliche Bauchschmerzen. -- Iwesb (Diskussion) 11:37, 3. Jul. 2017 (CEST)

Liebe Leute, die Wikipedia ist kein Mathebuch sondern soll nur darstellen, was schon dargestellt wurde, und dazu gehört nun mal ${\rm {i={\sqrt {-1}}}}$. Ich meine das Klaus Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-48910-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 2. Juli 2017]).  das ganz gut dargestellt hat, oder? Ich hab meinen Code oben noch mal präzisiert. --Alva2004 (Diskussion) 16:33, 3. Jul. 2017 (CEST)

OK, um's (hoffentlich) ganz klar zu machen: ${\stackrel {b}{=}}$ ist richtig, also ${\sqrt {1}}\;{\stackrel {b}{=}}\;1$, weil die Wurzel ${\sqrt {}}$ aus einer nicht-negativen Zahl als nicht-negativ definiert ist. Ist die Zahl komplex, aber nicht nicht-negativ, dann lässt sich der Hauptwert definieren. Dieser entspricht im Fall eines negativen Radikanden der oben genannten Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{-}\rightarrow \mathbb {C} ;f(x)=\mathrm {i} {\sqrt {-x}}$ und hilft (noch) bei der Gleichung ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1$. Die Funktionalgleichung $x^{1/n}y^{1/n}=(xy)^{1/n}$ mit $2\leq n\in \mathbb {N}$ rettet aber auch der Hauptwert nicht für alle $x,y\in \mathbb {C} ,n\geq 2$, da das Potenzieren NICHT umkehrbar ist (das Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten schon nicht im Reellen und höhere ungerade Potenzen auch nicht im Komplexen). Beispiel hierzu: $\arg x=\arg y=2\pi /3$, dann ist$\arg({\sqrt {x}})=\arg({\sqrt {y}})=\pi /3$, aber $\arg(xy)=-2\pi /3$, woraus $\arg({\sqrt {xy}})=-\pi /3\neq 2\pi /3=\arg({\sqrt {x}})+\arg({\sqrt {y}})$.
Ich habe mir Klaus Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-48910-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 3. Juli 2017]).  angeschaut. Was mir nicht gefällt, ist, dass er (im fraglichen Abschnitt) nur sehr zurückhaltende (und missverständlich hingeschriebene) Rückgriffe auf „Definitionen“ bringt und vor allem den Hauptwert nicht erwähnt, der viel größere Zahlbereiche sowohl bei der Basis wie beim Exponenten zulässt, derart dass seine Behauptung »Deshalb kann man keine der beiden Wurzeln als die Wurzel auszeichnen.« falsch ist. Man kann tatsächlich mehr definieren und muss dafür die universelle Gültigkeit Gleichung $x^{1/n}y^{1/n}=(xy)^{1/n}$ für $x,y\in \mathbb {C}$ einschränken. Eklatant falsch ist seine Aussage: „Stimmt die Regel auch im Komplexen? Tatsächlich ist das so.“ (Besser finde ich, was schon im dewiki unter Hauptwert steht.) --Nomen4Omen (Diskussion) 20:21, 3. Jul. 2017 (CEST)

Habe einen Abschnitt Quadratwurzel#Potenzgesetz hinzugefügt, der die Überflüssigkeit der Diskussion hier klar stellt. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:44, 4. Jul. 2017 (CEST)

Die Diskussion hier ist mit nichten überflüssig und durch den neuen, mich zumindest verwirrenden Abschnitt, auch nicht aus dem Weg geräumt. Die Identität (a b)^r = a^r b^r pauschal für ungültig zu erklären, ist enzyklopädisch ein Fehler.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Bitte, zitiere die Stelle genau, wo »(a b)^r = a^r b^r pauschal für ungültig erklärt« wird.

Das wird so gemacht aber auch anders. In Potenzgesetze.pdf wird am Schuss geschrieben:

„Wir haben nun gelernt, dass man beim Potenzgesetz und auch beim Logarithmusgesetz im Komplexen vorsichtig sein muss, wenn (Hervorhebung von mir) man sich bei der Notation auf den Hauptzweig einschränkt“

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Wenn man Gleichungen haben will (Gleichungen von komplexen Zahlen. Zu Gleichungen von Mengen siehe den 4. Einschub), dann muss man sich auf einen Wert einschränken. Wenn man Vieldeutigkeit haben möchte, dann wird's schwierig. So schwierig, dass man in Dein und Fritzsches Problem hineinläuft.

Fritzsche macht diese Einschränkung auf den Hauptzweig nicht. Das ist nicht falsch, sondern eine andere Herangehensweise, die in einer Enzyklopädie erwähnt gehört.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Natürlich ist es nicht falsch, den Hauptwert zu verschweigen. Aber wie man das Verschweigen in eine Enzyklopädie reinbringen soll, ist mir unklar.

In Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4 (Moo-Sch). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, doi:10.1007/978-3-662-53500-4.  steht auf Seite 240, dass man die Potenzfunktion y = f( x ) = x^1/p auch als mengentheoretische Funktion definieren kann.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Eine „mengentheoretische Funktion“ oder besser eine „mengentheoretische Gleichung“, könnte sein:

$\{(xy)^{r}|x,y\in \mathbb {C} ;x^{r}=a^{r};y^{r}=b^{r}\}=\{x^{r}y^{r}|x,y\in \mathbb {C} ;x^{r}=a^{r};y^{r}=b^{r}\}$.

Sie sagt im Grunde dasselbe wie die Formulierung:

»Für ... beliebige $a,b\in \mathbb {C}$ kann man in ${\text{(P)}}$ die „Vorzeichen“ von zwei der drei Wurzeln frei wählen, wonach genau eine Möglichkeit für das „Vorzeichen“ der letzten dritten übrig bleibt.«

die sich im Abschnitt Quadratwurzel#Potenzgesetz findet.

Ich vermute mal, dass dann die Gleichung (a b)^r = a^r b^r so zu lesen ist, dass es ein z gibt, für das sowohl z = (a b)^r als auch z = a^r b^r gilt.

Einschub:@Benutzer:Alva2004: Was dieses z retten soll, erschließt sich mir nicht.

Leider finde ich im Internet dazu keine Quellen. Ich werde aber mal an die Uni gehen und suchen, was Zeit braucht... --Alva2004 (Diskussion) 10:37, 5. Jul. 2017 (CEST)

Einschub:@Benutzer:Alva2004: 5 Einschübe von --Nomen4Omen (Diskussion) 14:38, 5. Jul. 2017 (CEST)

Nochmal: Die Wikipedia ist kein Mathebuch sondern eine Enzyklopädie, die dargestelltes darstellt.

• Ich sehe gerade, dass das Potenzgesetz (a b)^r = a^r b^r in Komplexe Zahl fehlt. Das geht in einer Enzyklopädie gar nicht und sollte imho mit Erläuterung, insbes. obiger Mengengleichung, ergänzt werden.
• In Fritzsche ist das Problem, dass man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen darf. Bei "ihnen" ist das Problem, dass das Potenzgesetz nicht mehr gilt. Beides wird gemacht und sollte imho dargestellt werden.--Alva2004 (Diskussion) 15:31, 5. Jul. 2017 (CEST)

Mir scheint, dass Du mit aller Gewalt den Begriff der „mehrdeutigen Funktion“ in Wikipedia unterbringen willst. Dazu steht schon etwas im Artikel Funktion (Mathematik)#Begriffsgeschichte im Abschnitt Begriffsgeschichte. Ich begrüße es total, dass der Artikel sich an die Mathematik hält und bei seinem Abschnitt „Definitionen“ nicht weiter darauf eingeht. Denn man kann bei einem rechtseindeutigen (und damit herkömmlichen) Funktionsbegriff bleiben und zumindest die vorliegenden Mehrdeutigkeiten durch Lösungsmengen ausdrücken (wie von mir oben schon angedeutet). Und das ungleich viel schärfer und präziser als durch einen weichgeklopften Funktionsbegriff.

Total unerträglich wäre, wenn Du diese Begriffsbildung unter Berufung auf Fritzsche einbringen würdest. Fritzsche »foppt« Anfänger und sich selbst, er erfüllt NICHT die Qualitätsanforderungen reputabler Belege oder »Any exceptional claim requires multiple high-quality sources.«.

Was Du mit Deinem Satz »In Fritzsche ist das Problem, dass man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen darf.« ausdrücken möchtest, erschließt sich mir nicht. Natürlich »darf man eine mehrdeutige Funktion nicht mit eindeutigen Werten gleichsetzen«! Macht Fritzsche das trotzdem? Hat er hier ein Problem? Oder willst Du nur sagen, dass er das als Problem angesprochen hat? (Was soll ich damit anfangen? Hast Du mir nicht zugetraut, dass ich weiß, dass man Eindeutigkeit mit Mehrdeutigkeit nicht verwechseln darf?)

Gehst Du auf meine Fragen, die ich an Deine Texte habe, überhaupt ein? Bisher nicht! Kann man so diskutieren? Du musst sehr gut antworten, wenn ich nochmal auf Deinen Text eingehen soll. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:58, 5. Jul. 2017 (CEST)

@Nomen4Omen: Eine Bitte für (auch späteren) Lesbarkeit der Diskussion durch andere. Bitte keine Einschübe, die die ursprünglichen Beitrage zerreißen und schwer leserlich machen. Wenn man sich auf bestimmte Punkte oder Sätze beziehen möchte, so kann man diese ja im eigenen Posting noch einmal im eigene Posting zitieren/referenzieren bevor man sie sie kommentiert. Die Postings einzelner Personen sollten möglichst kompakt und unverändert bestehen bleiben, denn sonst wird es schwierig die Gesamtaussagen von Postings zu erfassen bzw. diese am Stück zu lesen und die Unterschriften den zugehörigen Texten zuzuordnen.--Kmhkmh (Diskussion) 06:29, 6. Jul. 2017 (CEST)

@Kmhkmh: Danke für den Tipp. Ich habe mir zwar die allergrößte Mühe gegeben, den ursprünglichen Duktus des Vorredners erkennbar zu halten und die Leserlichkeit nur ganz unwesentlich zu stören. Aber der Weg, den Du vorschlägst, muss sicherlich auch bei sehr großer Anzahl von Bezügen (Zitaten/Referenzen) einfach mal ausprobiert werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:08, 6. Jul. 2017 (CEST)

Danke! Einzelne kleine Einschübe kann man noch einigermaßen überlesen, wenn man das ursprüngliche Posting lesen will, aber bei längeren wirkt es schon sehr störend. Spätestens aber wenn jetzt solche Einschübe dann wieder lokal beantwortet werden bzw. sich da Unterthreads ausbilden, ist dann das ursprüngliche Posting völlig zerfleddert und unlesbar. Das ist mit den Zitaten/Referenz ist zwar etwas lästiger erhält bzw. verbessert aber die langfristige Lesbarkeit einer fortschreitenden Diskussion.--Kmhkmh (Diskussion) 08:41, 6. Jul. 2017 (CEST)