Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion (engl.: exponential function) ist eine der wichtigsten Funktionen der Mathematik. Man schreibt sie als exp (x) oder e^x (wobei e die Eulersche Zahl ist).

Funktionsgraph

Man kann die Exponentialfunktion auf zwei Arten definieren:

$\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

$\exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}$

(siehe Limes, Folgen und Reihen). Das n! steht für Fakultät. x kann eine beliebige reelle oder komplexe Zahl sein.

Für reelle Argumente x ist die Exponentialfunktion exp(x) positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert die Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), der für alle positiven reellen Zahlen x definiert ist. Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kann man allgemeinere exponentielle Funktionen (reelle Potenzen) definieren:

a^x = exp(ln(a) x)

für alle a > 0 und alle reellen x.

Rechenregeln

Die Exponentialfunktion "verwandelt" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:

a⁰ = 1

a¹ = a

a^{x + y} = a^x a^y

a^(xy) = (a^x)^y

1 / a^x = (1/a)^x = a^-x

a^x b^x = (ab)^x

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen a und b und alle reellen x. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

1 / a = a^-1

√ a = a^1/2

ⁿ√ a = a^1/n

Ableitung

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion ist in der Tatsache zu finden, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ist:

exp'(x) = exp(x), (e^x)' = e^x

Allgemeiner gilt

d/dx a^bx = ln(a) b a^bx.

Das bedeutet, dass man eine Größe, deren Wachstum proportional zu ihrem Wert ist (wie z.B. Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall), als Konstante mal einer Exponentialfunktion der Zeit schreiben kann.

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtige Eigenschaften:

exp(z + w) = exp(z) exp(w)

exp(0) = 1

exp(z) ≠ 0

exp'(z) = exp(z)

für alle z und w. Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode 2πi. Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion ln(z). Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:

z^w = exp(ln(z) w)

für alle komplexen z und w. Das ist dann auch eine vielwertige Funktion. Die obigen Gesetze für Potenzen gelten weiterhin, aber für vielwertige Funktionen.

Über die Eulersche Formel erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen und die hyperbolischen Funktionen

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe

$\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

definiert, die für alle möglichen Werte absolut konvergiert. Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

exp(x+y)=exp(x)exp(y)

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte x und y, die kommutieren, also für Werte mit xy = yx. (Dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist.)

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der nxn-Matrizen mit komplexen Einträgen.

Weblinks

• http://planetmath.org/encyclopedia/ExponentialFunction.html auf Englisch