Diskussion:Sinus und Kosinus

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Sinus und Kosinus“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Genauer wird durch die Forderung lim(x->0)(sin(x)/x)=1 Differenzierbarkeit der Sinusfunktion in 0 vorausgesetzt, nicht auf dem gesamten Definitionsbereich. Und - die Forderung cos(0)=1 kann man weglassen, sie folgt aus den anderen (laut Fußnote in dem angegebenen Heuser-Buch; sei an dieser Stelle angenommen, dass Harro Heuser seine Fußnotern ernster nimmt, als der allseits bekannte Baron :-) ). (nicht signierter Beitrag von 87.143.127.47 (Diskussion) 19:55, 6. Apr. 2012 (CEST))

Ich habe die Differenzierbarkeit "in 0" ergänzt. Sie wird übrigens nicht "zusätzlich" vorausgesetzt sondern folgt aus sin(x)/x --> 1, denn wegen sin(0)=0 ist das ja gerade dasselbe wie (sin(0+x)-sin(0))/x --> 1, und das heißt sin'(0)=1.--FerdiBf (Diskussion) 10:10, 7. Apr. 2012 (CEST)

Dass cos(0)=1 , ist in der Tat trivial: Zunächst sieht man (aus ungerade Funktion oder limes-Bedingung) dass sin(0)=0 . Setzt man in der ersten Funktionalgleichung dann y=0, so ergibt sich: sin(x)=sin(x)*cos(0) . Da wegen der limes-Bedingung sin(x) nicht konstant =0 sein kann, ergibt sich cos(0) ungleich null, insbesondere cos(0)=1 . (nicht signierter Beitrag von 46.244.148.86 (Diskussion) 16:22, 31. Okt. 2012 (CET))

Analytische Berechnung von Winkelfunktionen eines beliebigen Winkels

Ausgehend von einem rechtwinkeligen Dreieck, mit der Dreiecksbasis als Einheitslänge, kann man die Höhen verschiedener Winkel angeben. Höhe/Basis=Gegenkathete/Ankathete ist dann der Tangens des Winkels, nennen wir ihn Alpha. Als einfachstes Beispiel: Tan(45°)=1 und Tan(60°)=Wurzel(3)

Nun sind auch die Längen der Schenkel aller Winkel bekannt. Das sind die Cos-Werte (Ankathete/Hypothenuse) Cos(45°)=Wurzel(2), Cos(60°)=0,5

Zwischen diese beiden Winkel, läßt sich eine Winkelhalbierende konstruieren. Diese hätte dann den Winkel 45°+7,5°=52,5° Die Winkelhalbierende teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden des Winkels -> Harmonische Teilung und Kreis des Apollonius

Mit diesem Satz und den bekannten Dreieckslängen läßt sich nun der Tan(52,5°) analytisch, vermittels zweier einfacher Gleichungen, die zu lösen sind, angeben. Damit ist dann auch die Höhe=Gegenkathete bekannt und daraus läßt sich die Hypothenuse bestimmen. Um zu zeigen, dass es geht hab ich's mal gerechnet. Ergebnis: Tan(52,5°) = 1 + (wurzel(3)-1) * (wurzel(2)-1) Ein schönes Ergebnis, wie ich meine.

Wiederholt man diese Prozedur mit fortgesetzter Winkelhalbierung zwischen zwei bekannten Winkeln, so müsste theoretisch jeder Winkel beliebig genau, also infinitesimal, analytisch anzunähern sein.

Ob sich eine allgemeine Funktion aufstellen ließe, die dann abgeleitet werden könnte, weis ich nicht. Das wäre eine Aufgabe für einen Mathematiker, der diese Niesche besser kennt als ich. Vielleich könnte mir jemand darauf eine Antwort geben? (nicht signierter Beitrag von 193.18.239.4 (Diskussion) 13:33, 22. Okt. 2012 (CEST))

Anscheinend suchst Du Formeln der Art

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\mbox{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[$

und

$\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}$

vgl. Formelsammlung Trigonometrie --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:17, 22. Okt. 2012 (CEST)

Hi, das ist eine sehr alte Idee, siehe CORDIC-Verfahren, das auch im Abschnitt "Berechnung" verlinkt ist. Die Einschränkung der Konstruierbarkeit bezieht sich nur auf Winkel mit ganzzahligem Gradmaß, von denen sich wirklich nur die Vielfachen von 3Grad konstruieren lassen. Andere Näherungsverfahren müssen sich mit den bekannten, z.B. Cordic, messen und nachweisen, dass sie mit gleichem Rechenaufwand eine höhere Genauigkeit (oder umgekehrt, gleich Genauigkeit mit weniger Aufwand) erreichen.--LutzL (Diskussion) 14:25, 22. Okt. 2012 (CEST)

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Danke für die super Info, was ich meinte war, ob eine Winkelfunktion eines beliebigen Winkels prinzipiell analytisch berechenbar sei. Es ging mir dabei nicht um die Effizienz. Mein Beispiel Tan(52,5°)= 1 + (wurzel(3)-1) * (wurzel(2)-1), ist nicht vielfaches von 3°. Ich könnte weiter rechnen und nun Tan(52,5-7,5/2)=Tan(48,75°) analytisch berechnen. Es kämen wieder irgendwelche Wurzelgrößen heraus. Also Reelle Zahlen. Man kann das vor und zurück, so dass gewünschter Wert, nennen wir ihn c, beliebig genau angenähert werden kann. Möglich, dass sich Reihen ergeben, die dann einen Grenzwert bei c haben. Das ist meine Vermutung. Obige Additionstheoreme resultieren wohl aus der Methode. Es gibt ja nun auch ein Theorem Tan(x-y)(Danke für den Link). So kann man sich an einen beliebigen Wert c iterativ und analytisch nähern. Das Cordic-Verfahren ist ja wieder numerisch. Ich meinte eine analytische Methode.

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Nun sind doch alle Winkel in konstruierbaren Vielecken auch analytisch berechenbar und nicht die Vielfachen von 3° So z.B. die 17-Eck Winkel: http://kilchb.de/faqmath99.html W.L.

Was an "Winkel mit ganzzahligem Gradmaß" ist unverständlich? Die Aussage bezieht sich natürlich auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bzw. auf Ausdrücke mit reeller Arithmetik und Quadratwurzeln. Es gibt natürlich noch jede Menge weiterer Winkel, deren Punkt auf dem Kreis sich als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten darstellen lässt. Aber was heißt in diesem Zusammenhang analytisch berechenbar? Ist die kleinste Nullstelle (ungleich Null) von (1-x)^19-1=0 analytisch berechenbar?--LutzL (Diskussion) 12:27, 26. Okt. 2012 (CEST)--Edit:Zirkel+Lineal--LutzL (Diskussion) 12:44, 26. Okt. 2012 (CEST)

Auftrennen des Artikels

Wollen wir diesen Artikel vielleicht in die zwei Artikel Sinus und Kosinus aufteilen? Viele andere Wikipedien haben auch zwei Artikel siehe d:Q1256164 und d:Q152415. Das Thema sollte auch genug hergeben, um zwei Artikel zu rechtfertigen. Zum Beispiel fehlen die einfachen Abschätzungen für $\sin(x)$ und außerdem wurde bei der Feedbackoption mehrmals gesagt, der Artikel sei zu kompliziert. Vielleicht wäre diese auch eine Chance das Thema noch etwas verständlicher zu gestalten.--Christian1985 (Disk) 17:51, 5. Mär. 2013 (CET)

Hm. Wenn du ins Archiv dieser Diskussionsseite schaust, siehst du, dass das mal zwei Artikel waren, die 2005 zusammengelegt wurden. Damals wurde als Grund genannt, dass es sehr viele Überschneidungen gibt. --Digamma (Diskussion) 21:16, 5. Mär. 2013 (CET)

Ich finde unsere Paar-Lösungen bei den ganzen trig. Funktionen ganz elegant zur Redundanzvermeidung, du kannst doch kaum was zu Cosinus sagen, ohne Sinus zu erwähnen. Allerdings biete ich gerne meine Mithilfe bei einer Offensive zur Erhöhung der Verständlichkeit an. --χario 00:00, 6. Mär. 2013 (CET)

Der Artikel insgesamt ist zweifellos ziemlich (und ich finde ZU) lang, aber das liegt nicht am Kosinus, sondern an den vielen Beziehungen zu anderen trigonometrischen und sonstigen Funktionen. Vielleicht könnte man Teile davon auslagern, in eine Formelsammlung oder "Beziehungen zu anderen Funktionen" oder sowas. --mfb (Diskussion) 16:11, 6. Mär. 2013 (CET)

@mfb, an welche Beziehungen bzw. Abschnitte denkst Du da?

Klar hätten wir einige Redundanzen, wenn wir den Artikel aufsplitten würden. Manche Dinge gehören aber nur zum Sinus oder zum Kosinus. Zum Beispiel fehlt die sehr grobe Ungleichung $\sin(x)<|x|$, die doch in der Physik häufig Verwendung findet.--Christian1985 (Disk) 17:47, 6. Mär. 2013 (CET)

$\sin(x)<|x|$ hat die äquivalente Ungleichung $\cos(x)<|x-{\frac {\pi }{2}}|$ (und die wird auch durchaus gelegentlich verwendet).

Ich dachte vor allem an die Abschnitte, die sin/cos mit komplexen Zahlen, der e-Funktion und den hyperbolischen Funktionen in Beziehung setzen. Das ist ein relativ abgeschlossenes Gebiet und ließe sich auslagern. --mfb (Diskussion) 13:32, 7. Mär. 2013 (CET)

Das wirkt auf mich aber nach einer sehr künstlichen Trennung. Außerhalb der Schulmathematik, definiert man den Sinus und den Kosinus ja meist als Reihe und da ist es nur natürlich auch komplexe Zahlen in Sinus und Kosinus einzusetzen.--Christian1985 (Disk) 14:08, 7. Mär. 2013 (CET)

+1. Was hier glaub ich nicht im Artikel bleiben müsste, wäre der Beweis der Additionstheoreme. --χario 14:34, 7. Mär. 2013 (CET)

Auf den kann ich auch verzichten.--Christian1985 (Disk) 14:36, 7. Mär. 2013 (CET)

nur ein paar Anmerkungen

In der Einleitung finde ich den Satz "... und sind wichtig in der Analysis" nicht so konkret => Alternative? Beim 1. Eindruck (bin noch nicht ganz durch, kommt noch) tauchen viele "man" Formulierungen und wertende Aussagen wie "bequem" auf, was ich nicht so schön finde und daher verändert habe. Insgesamt leitet das Lemma sehr viel her und erklärt die Gleichungen: Ist das erwünscht? Mir hat mal jemand Weises gepostet: WP kommt gleich zur Sache - das ist kein Lehrbuch (bin Autorin eines LB). Mir fällt dazu aber spontan auch keine echte Lösung ein. --MarianneBirkholz (Diskussion) 21:54, 9. Mär. 2013 (CET)

Sinuskurve per Additionstheorem

Hallo Leute,

eine Frage:

Ist die Anwendung des trigonometrischen Additionsthreorems zur Darstellung einer Sinuskurve in dem Artikel bereits enthalten?

Ich verstehe ein wenig Mathematik, bin aber fern der standartisierten Schreibweise.

Ich berechne regelmäßige Kreispunkte mit dem Additionstheorem in einer Reihenberechnung wie folgt:

Gegeben sei a1 und b1

(aus a²+b²=c², mit c=1; (Dreieck/ Winkel im Einheitskreis)).

a(n+1) = a(n) * a(1) - b(n) * b(1)

b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Diese Reihenberechnung erzeugt mit n als x-Achse und a(n) und b(n) als y-Werte, eine Cosinus- und eine Sinuskurve.

Die Genauigkeit hängt von a(1) und b(1) ab.

Wie das Additionstheorem für das Zustandekommen für eine Sinuskurve sorgt, lässt sich zudem anschaulich beschreiben.

So in etwa, am Beispiel einer Leiter, die schrittweise um den gleichen Winkel gehoben wird:

Es verändert sich stets der Abstand von der Wand, und die erreichbare Höhe.

Jeder neue Abstand (a(n+1)) kann nur unter Einbeziehung von vohergehenden Abstand und Höhe,

und den Werten der Drehung (Anfangswerte) berechnet werden. Ebenso jede neue Höhe (b(n+1)).

Ich finde so eine bildliche Beschreibung sollte grundsätzlich am Anfang des Hauptartikels stehen,

denn er wird auch von vielen Schülern und "Nicht-Eingeweihten" gelesen.

Ein verständlicher Einstieg, lädt ein zu weiterem Spaziergang.

Bedanke mich,

Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.83.49 (Diskussion) 22:32, 28. Mai 2013 (CEST))

Wozu sollte man damit Sinuswerte berechnen? Ohne Taschenrechner/Computer muss man die Werte eh seltenst präzise berechnen, und diese haben alle bessere Algorithmen. --mfb (Diskussion) 22:38, 28. Mai 2013 (CEST)

Das Additionstheorem ist die mathematische Darstellung für eine anschaulichen Beschreibung.

Es dient lediglich dem besseren Verständnis.

In Foren u.a. tauchen häufig Fragen nach dem Entstehen der Sinuskurve und den Hintergünden auf,

oft steckt dahinter eine Hausaufgabe, o.ä.

Wenn ein Schüler begreift, dass Gesamtlängen- und -Höhen und Teillängen und -Höhen von Drehwinkeln miteinander verrechnet werden können,

dann begreift er auch die Sinuskurve.

Ein Umstand, der für gestandene Mathematiker manchmal schwer nachvollziehbar ist.

Dank, Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 91.23.91.100 (Diskussion) 09:16, 29. Mai 2013 (CEST))

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen. Wenn man schon das Bild der Leiter hat, wozu braucht man hier, wie die Höhen berechnet werden? Der Sinus ist doch hier einfach die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit.

Antwort:

Die Sinuskurve beschreibt nicht bloß die Höhe, sondern die Verbindungslinie aller Höhen, bei gleich bleibendem Drehwinkel.

Für den Anfänger ist u.U. schwer verständlich, aber interessant: Wie berechne ich die nächste Höhe, nach einer weiteren Drehung.

Hier dient das Additionstheorem mit größerer Anschaulichkeit.

Ich weiß dass, da ich mir die Cosinus- und Sinuswerte auf genau diesem Weg selber hergeleitet habe.

Danke, Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.113.128 (Diskussion) 20:53, 29. Mai 2013 (CEST))