Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert formalisiert. Es ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis.

Formale Definition des Limes einer reellen Funktion

Der Grenzwert der Funktion f für x gegen p ist gleich L dann und nur dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x mit 0<|x-p| < δ auch |f(x)-L| < ε gilt.

Das Symbol $\lim _{x\to p}f(x)$, gelesen „Limes f von x für x gegen p“, bezeichnet den Limes der reellen Funktion $f$ für den Grenzübergang der Variablen $x$ gegen $p$. Dabei kann $p$ sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der symbolischen Werte $+\infty$ und $-\infty$. Im ersten Fall muss $p$ nicht unbedingt im Definitionsbereich $D$ von $f$ liegen, aber es muss ein Häufungspunkt von $D$ sein, d. h., in jeder Umgebung von $p$ müssen unendlich viele Elemente von $D$ liegen. Im Falle $p=\infty$ bzw. $p=-\infty$ muss der Definitionsbereich von $f$ nach oben bzw. unten unbeschränkt sein.

Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:

Argument endlich, Grenzwert endlich

• Definition: Sei $X$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ und $p\in \mathbb {R}$ ein Häufungspunkt von $X$. Die Funktion $f:X\to \mathbb {R}$ hat für $x\to p$ den Limes $L$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0$ ein (im Allgemeinen von $\varepsilon$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für alle $x$-Werte aus dem Definitionsbereich $X$ von $f$, die der Bedingung $0<|x-p|<\delta$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon$ gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet die Definition: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Limes $L$ wird beliebig klein, wenn man $x$ genügend nahe bei $p$ wählt.

Zu beachten ist, dass es keine Rolle spielt, welchen Wert die Funktion $f$ an der Stelle $p$ einnimmt; die Funktion braucht nicht einmal an der Stelle $p$ definiert zu sein. Entscheidend ist lediglich das Verhalten von $f$ in den punktierten Umgebungen von $p$. Manche Autoren verwenden allerdings eine Definition mit Umgebungen, die nicht punktiert sind; siehe dazu den Abschnitt Neuerer Grenzwertbegriff.

Im Gegensatz zur von Augustin-Louis Cauchy verwendeten Formulierung, dass sich „die Funktion dem Grenzwert annähert“, ist $x$ keine Variable, die „läuft“, sondern einfach nur ein Element einer vorgegebenen Menge. Diese heute verwendete statische ε-δ-Definition geht im Wesentlichen auf Karl Weierstraß zurück und stellte den Grenzwertbegriff auf ein solides mathematisches Fundament, die sogenannte Epsilontik.

Beispiel: $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=2$

Argument endlich, Grenzwert unendlich

• Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to p$ (mit $p\in \mathbb {R}$) den Limes $+\infty$, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl $T$ ein (im Allgemeinen von $T$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige $x$-Werte aus dem Definitionsbereich von $f$, die der Bedingung $0<|x-p|<\delta$ genügen, auch $f(x)>T$ erfüllt ist.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to p}f(x):=\infty$ bestimmt divergent.

Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes $-\infty$ definiert.

Beispiel: $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

Argument unendlich, Grenzwert endlich

• Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to +\infty$ den Limes $L$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0$ eine (im Allgemeinen von $\varepsilon$ abhängige) reelle Zahl $S$ gibt, sodass für beliebige $x$-Werte aus dem Definitionsbereich von $f$, die der Bedingung $x>S$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon$ erfüllt ist.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to \infty }f(x):=L$ konvergent.

Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs $x\to -\infty$ bzw. $L\in \{-\infty ,+\infty \}$ definieren.

Beispiel: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=1$

Definition mit Hilfe von Folgen

In den reellen Zahlen lässt sich ein Häufungspunkt folgendermaßen charakterisieren:

Sei $D$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ und $p\in \mathbb {R}$. $p$ ist ein Häufungspunkt von $D$ genau dann, wenn es eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D\setminus \{p\}$ gibt, die$\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ erfüllt, siehe dazu Grenzwert (Folge).

Mit dieser Eigenschaft lässt sich eine alternative Grenzwertdefinition formulieren:

• Definition: Sei $f:\,\,D\to \mathbb {R}$ eine Funktion, $p$ ein Häufungspunkt von $D$ und $L\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Dann definiert man $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D\setminus \{p\}$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Sobald man auch $\pm \infty$ als Grenzwert in der Definition des Häufungspunktes zulässt, kann man genauso auch $\lim _{x\to \infty }f(x)$ und $\lim _{x\to -\infty }f(x)$ definieren.

Man kann zeigen, dass die $\varepsilon$-$\delta$-Definition des Grenzwerts äquivalent zur Folgendefinition ist.

Einseitige Grenzwerte

Definition

Sei $X$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ und $p\in \mathbb {R}$ ein Häufungspunkt von $X\cap (p,\infty )$. Die Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ hat für $x\to p+$ den Limes $L$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0$ ein (im Allgemeinen von $\varepsilon$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für alle $x$-Werte aus dem Definitionsbereich $X$ von $f$, die der Bedingung $0<x-p<\delta$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to p+}f(x):=L$ konvergent.

Entsprechend werden Grenzwerte des Typs $x\to p-$ beziehungsweise für $L\in \{-\infty ,+\infty \}$ definiert.

Beispiele

Funktion	rechtsseitiger Grenzwert	linksseitiger Grenzwert	beidseitiger Grenzwert
$\operatorname {sgn}(x)$	$\lim _{x\to 0+}\operatorname {sgn}(x)=+1$	$\lim _{x\to 0-}\operatorname {sgn}(x)=-1$	existiert nicht
${\frac {1}{x}}$	$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=+\infty$	$\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty$	existiert nicht
${\frac {1}{|x|}}$	$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{|x|}}=+\infty$	$\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{|x|}}=+\infty$	$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{|x|}}=+\infty$

Notation

rechtsseitiger Grenzwert	$\lim _{x\to p+}f(x)$	$\lim _{x\to p+0}f(x)$	$\lim _{x\downarrow p}f(x)$	$\lim _{x\searrow p}f(x)$	$\lim _{x\to p \atop x>p}f(x)$
linksseitiger Grenzwert	$\lim _{x\to p-}f(x)$	$\lim _{x\to p-0}f(x)$	$\lim _{x\uparrow p}f(x)$	$\lim _{x\nearrow p}f(x)$	$\lim _{x\to p \atop x<p}f(x)$

Einseitiger und beidseitiger Grenzwert

Um Verwechslungen zu vermeiden, spricht man im Falle von $\lim _{x\to p}f(x)$ mitunter auch vom beidseitigen Grenzwert. Falls $p$ ein Häufungspunkt von $X\cap (p,\infty )$ und von $X\cap (-\infty ,p)$ ist, so gilt: $\lim _{x\rightarrow p}f(x)$ existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte $\lim _{x\nearrow p}f(x)$ und $\lim _{x\searrow p}f(x)$ existieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt die Gleichheit $\lim _{x\rightarrow p}f(x)=\lim _{x\nearrow p}f(x)=\lim _{x\searrow p}f(x)$.

Grenzwertsätze

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$, $f\colon D\to \mathbb {R}$ und $g:D\to \mathbb {R}$ zwei reellwertige Funktionen, deren Grenzwerte $\lim _{x\to p}f(x)=a$ und $\lim _{x\to p}g(x)=b$ existieren, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ und $p\;$ ein Häufungspunkt von $D$ aus den erweiterten reellen Zahlen ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ist. Dann existieren auch die folgenden Grenzwerte und lassen sich wie angegeben berechnen:

• $\lim _{x\to p}(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to p}f(x)\pm \lim _{x\to p}g(x)=a\pm b$
• $\lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)=a\cdot b$

Ist zusätzlich $b\neq 0$, so existiert auch $\lim _{x\to p}{\tfrac {f(x)}{g(x)}}$, und es gilt

• $\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to p}f(x)}{\lim _{x\to p}g(x)}}={\frac {a}{b}}$.

Gilt sowohl $\lim _{x\to p}f(x)=0$ als auch $\lim _{x\to p}g(x)=0$, so lässt sich der Grenzwertsatz nicht anwenden. In vielen Fällen kann man den Grenzwert aber mit der Regel von L’Hospital bestimmen.

Darüber hinaus gilt der folgende Schachtelungssatz:

• Ist $|f(x)|\leq |g(x)|$ und ist $\lim _{x\to p}g(x)=0$, so ist auch $\lim _{x\to p}f(x)=0$.

Anwendung

Die Anwendung des Grenzwertbegriffs auf Differenzenquotienten hat sich als besonders ergiebig erwiesen. Er bildet die eigentliche Grundlage der Analysis.

Differentialquotient und Differenzierbarkeit

Differentialquotienten (auch Ableitungen genannt) sind die Grenzwerte der Differenzenquotienten einer Funktion, also Ausdrücke der Form

$\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$,

worin $\Delta y:=f(x_{1})-f(x_{0})$ und $\Delta x:=x_{1}-x_{0}$ bezeichnen. Schreibweisen sind z.B. $f'(x_{0})$ oder ${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}(x_{0})$, sofern dieser Grenzwert existiert. Mit den Eigenschaften und der Berechnung von Differentialquotienten befasst sich die Differentialrechnung.

Existiert ein Differentialquotient einer Funktion an der Stelle $p\;$, dann heißt die Funktion differenzierbar an der Stelle $p\;$.

Wichtige Grenzwerte

Der bei der Ableitung der Potenzfunktion $\;f(x)=x^{n},$ $n\in \mathbb {N} \;$ auftretende Grenzwert lässt sich mit dem binomischen Lehrsatz berechnen:

${\frac {\mathrm {d} x^{n}}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.$

Der bei der Ableitung der Exponentialfunktionen $\;f(x)=a^{x},$ $a\in \mathbb {R} ^{+}$ auftretende Grenzwert benötigt die Einführung der eulerschen Zahl $e\;$ und den darauf beruhenden natürlichen Logarithmus:

${\frac {\mathrm {d} a^{x}}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{x}\ln a.$

Die Ableitung der Winkelfunktionen führt letztlich auf den Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$. Für die Berechnung dieses Grenzwerts gibt es unterschiedliche Zugänge, je nachdem, wie die Winkelfunktionen und die Zahl Pi analytisch definiert werden . Misst man den Winkel im Bogenmaß, so erhält man

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$

Neuerer Grenzwertbegriff

In jüngerer Zeit wird auch eine Variante des Grenzwertbegriffs verwendet, der mit Umgebungen arbeitet, die nicht punktiert sind. Unter Verwendung von Folgen definiert diese Variante den Grenzwert folgendermaßen: Sei $f:\,\,D\to \mathbb {R}$ eine Funktion, $p$ ein Element der abgeschlossenen Hülle ${\bar {D}}$ und $L\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Dann definiert man $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt $x_{n}=p$ nicht mehr verboten ist, falls $p\in D$. Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle ${\bar {D}}$ möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von $D$.

Eine äquivalente nichtpunktierte $\varepsilon$-$\delta$-Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen $\varepsilon$-$\delta$-Definition braucht nur $0<|x-p|<\delta$ durch $|x-p|<\delta$ ersetzt werden, also ebenfalls der Fall $x=p$ ausdrücklich erlaubt werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist $f$ stetig in $p\in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to p$ existiert und $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ gilt oder wenn $p$ ein isolierter Punkt ist. In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist damit automatisch erfüllt.

Beispiel:

$f(x)={\begin{cases}0,&x\neq 0,\\1,&x=0.\end{cases}}$

Diese Funktion ist nicht stetig. Der Grenzwert im nichtpunktierten Sinn existiert nicht. Der Grenzwert im punktierten Sinn existiert allerdings: $\lim _{x\to 0}f(x)=0$, da ausdrücklich $x\neq 0$ verlangt wird und für diese Werte $f(x)=0$ gilt. Offensichtlich ist allerdings $\lim _{x\to 0}f(x)\neq f(0)$.

Zur Vermeidung von Missverständnissen empfehlen die Vertreter der nichtpunktierten Variante daher, den punktierten Grenzwert von $f$ für $x\to p$ folgendermaßen zu bezeichnen:

$\lim _{x\to p \atop x\neq p}f(x)$

Die Vertreter der neueren Variante sehen den Vorteil ihrer Variante gegenüber der klassischen punktierten Variante von Weierstraß darin, dass sich Grenzwertsätze mit der neueren Variante leichter formulieren lassen, weil die Sonderfälle, die sich durch die Punktierung ergeben, nicht mehr berücksichtigt werden müssen.

Grenzwert einer Funktion bezüglich eines Filters

Sowohl der klassische Grenzwertbegriff von Weierstraß als auch der neuere Grenzwertbegriff lassen sich als Spezialfälle des allgemeinen Grenzwertbegriffs einer Funktion bezüglich eines Filters auffassen:

Sei $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$, wobei $Y$ mit einer Topologie versehen ist, und ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ ein Filter auf $X$. Ein Punkt $L\in Y$ heißt Grenzwert der Funktion $f$ bezüglich des Filters ${\mathcal {F}}$, wenn der von der Filterbasis $f\left({\mathcal {F}}\right)$ erzeugte Filter gegen $L$ konvergiert, also wenn der von der Filterbasis $f\left({\mathcal {F}}\right)$ erzeugte Filter feiner ist als der Umgebungsfilter von $L$.

Die neuere Definition für den Grenzwert einer Funktion im Punkt $x$ entspricht nun dem Spezialfall, dass ${\mathcal {F}}$ als der Umgebungsfilter von $x$ gewählt wird; die klassische Definition von Weierstraß entspricht dem Spezialfall, dass ${\mathcal {F}}$ als der von den punktierten Umgebungen von $x$ erzeugte Filter gewählt wird.