Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

Limes einer reellen Funktion

Das Symbol $\lim _{x\to a}f(x)$ bezeichnet den Limes der reellen Funktion $f$ für den Grenzübergang der Variablen $x$ gegen $a$ . Dabei kann $a$ sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte $+\infty$ und $-\infty$ ; in jedem Fall muss $a$ jedoch im Abschluss des Definitionsbereiches von $f$ liegen. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch $+\infty$ und $-\infty$ in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:

Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$ ) den Limes $b$ , wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ ein (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich von $f$ , die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Limes $b$ kann beliebig klein gemacht werden, wenn man $x$ genügend nahe bei $a$ wählt.

Beispiel: $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$

Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$ ) den Limes $+\infty$ , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl $T$ ein (im Allgemeinen von $T$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich von $f$ , die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $f(x)>T$ erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes $-\infty$ definiert.

Beispiel: $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to +\infty$ den Limes $b$ , wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ eine (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängige) reelle Zahl $S$ gibt, sodass für beliebige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich von $f$ , die der Bedingung $x>S$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs $x\to -\infty$ definieren.

Beispiel: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=1$

Bei Grenzwerten des Typs $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$ ) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung $x>a$ oder $x<a$ einseitige Grenzwerte zu bilden:

\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty

\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\nearrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty

Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Sei $\lim _{x\to \infty }f(x)=a$ und $\lim _{x\to \infty }g(x)=b$ . Dann gelten folgenden Beziehungen:

$\lim _{x\to \infty }(f(x)\pm g(x))=a\pm b$
$\lim _{x\to \infty }(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {a}{b}}$ falls $b\neq 0$ .
Ist $|f(x)|\leq |g(x)|$ und ist $\lim _{x\to \infty }g(x)=0$ , so ist auch $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$ .

Viele Grenzwerte lassen sich leicht mit der Regel von L'Hospital berechnen.

Wichtige Grenzwerte

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$
$\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$
$\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1$
Die geometrische Reihe $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}\cdot q^{k}$ konvergiert gegen ${\frac {a_{0}}{1-q}}$ falls $|q|<1$ und divergiert falls $|q|>1$ für $n\to \infty$ .
Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch: $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2$ .

Limes einer Folge

Erläuterung

Eine reelle Zahl $a$ ist der Limes einer Folge $(a_{n})$ reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und $a$ beliebig klein wird.

Wenn für jedes vorgegebene $\epsilon >0$ nur endlich viele Folgenglieder weiter als $\epsilon$ von $a$ entfernt sind, dann heißt die Folge $(a_{n})$ konvergent gegen den Grenzwert $a$ .

Eine äquivalente Formulierung lautet: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es einen Index $N$ , so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\epsilon$ von $a$ entfernt sind. In Formeln:

\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N:\;\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon

Man beachte, dass der Index $N$ von $\epsilon$ abhängen darf. Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Folge $(1/n)$ gegen $0$ konvergiert, wählt man zu vorgegebenem $\varepsilon$ als $N$ (z. B.) die kleinste natürliche Zahl, die größer als $1/\varepsilon$ ist. Daher gilt für alle $n>N$ :

|a_{n}-0|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon

Die erste Ungleichung folgt dabei aus $n>N$ (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus $N>1/\epsilon$ .

Man findet auch die Darstellung ohne Absolutbetrag: Für $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ wird auch (etwas anschaulicher) $a-\epsilon <a_{n}<a+\epsilon$ geschrieben. Mit $n>N$ .

Beispiele

Die konstante Folge $(b_{n})$ mit $b_{n}=1$ ist konvergent gegen 1.
Die Folge $(c_{n})$ mit $(c_{n})=1/n$ konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge genannt.
Die Folge $(e_{n})$ mit $e_{n}=(1+1/n)^{n}$ ist konvergent gegen die Eulersche Zahl $e$ . Die Folge $(1+r/n)^{n}$ konvergiert gegen $e^{r}$ . Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.
Die Folge $(c_{n})$ mit $c_{n}=(-1)^{n}+1/n$ ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade $n$ .

Achilles und die Schildkröte

Limes superior und Limes inferior

Ist eine Folge nicht konvergent, so gibt es stets Teilfolgen, die konvergent sind oder gegen $+\infty$ oder $-\infty$ divergieren. In diesem Falle bezeichnet man den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter oder bestimmt divergenter Teilfolgen als Limes superior bzw. Limes inferior.

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos. Siehe Konvergenz.