Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes einen Grenzwert, der aber nie erreicht werden muss. Stattdessen kommt man immer näher an den angegebenen Wert heran. Die Notation für den Grenzwert einer Funktion f(x), wenn x gegen den Wert a strebt, lautet folgendermassen:

$\lim _{x\to a}f(x)$

Hier kommt die Variable x mit ihrem Wert beliebig nah an a heran, muss diesen Wert aber nicht erreichen (z.B. dann nicht, wenn sonst in f durch 0 geteilt würde). Die Limesbildung ist wesentlich für die Infinitesimalrechnung.

Praktisches Beispiel

Wenn man bei der Funktion y = f(x) = 1/x den x-Wert immer größer werden lässt, dann strebt y immer weiter gegen Null.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Bei den folgenden beiden Beispielen ist zu unterscheiden, ob der Grenzwert von oben oder von unten gebildet wird:

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty$
$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\nearrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty$

Limes einer Folge

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge (a_n) reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen schließlich allen Folgengliedern und a beliebig klein wird. Das wird folgendermaßen formalisiert:
Gegeben sei eine reelle Zahl $\epsilon >0$. Der Abstand zwischen schließlich allen Folgengliedern und a ist kleiner als $\epsilon$, falls es eine natürliche Zahl N gibt derart, dass alle Folgenglieder jenseits des Indexes N (also a_N+1, a_N+2, ...) $|a_{n}-a|<\epsilon$ erfüllen. Wenn es nun für jedes beliebige (noch so kleine) $\epsilon >0$ einen Index N gibt derart, dass $|a_{n}-a|<\epsilon$ für alle n>N gilt, dann heißt die Folge (a_n) konvergent und zwar gegen den Grenzwert a. Kurz:
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n>N\quad |a_{n}-a|<\epsilon$
Man beachte, dass der Index N von $\epsilon$ abhängen darf. Um also z.B. zu beweisen, dass die Folge (1/n) gegen 0 konvergiert, wählt man zu vorgegebenem $\epsilon$ als N z.B. die kleinste natürliche Zahl, die größer als 1/$\epsilon$ ist. Dann gilt nämlich für alle n>N:
$|a_{n}-0|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}<\epsilon$
Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus N>1/$\epsilon$.

Beispiele

• Die konstante Folge (b_n) mit b_n=1 ist konvergent gegen 1.
• Die Folge (c_n) mit c_n=(-1)ⁿ ist nicht konvergent.
• Die Folge (e_n) mit e_n=(1+1/n)ⁿ ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e.

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos.