Lineært ligningssystem

Et lineært ligningssystem er, innenfor matematikken, et system av to eller flere lineære ligninger som inneholder de samme variablene. For eksempel,

${\begin{alignedat}{3}5x&+2y&\;+\;2z&=27\\11x&+8y&\;+\;2z&=57\\-3x&+1y&\;-\;2z&=-16\end{alignedat}}$

som er et ligningssystem med tre variabler: $x$, $y$ og $z$. En løsning på et lineært ligningssystem er gitt ved at man gir hver og en av variablene en verdi, slik at alle ligningene er simultant oppfylt. En løsning på ligningssystemet ovenfor er gitt ved

${\begin{alignedat}{2}x&=\;4\\y&=\;1\\z&=\;{\frac {5}{2}}\end{alignedat}}$

som simultant oppfyller de tre ligningene over.

Innenfor matematikk, er teorien om lineære ligningssystemer en del av grenene algebra og lineær algebra, og en viktig del av moderne matematikk. Metoder og algoritmer for numerisk løsning av lineære ligningssystemer spiller en viktig rolle innenfor fysikk, kjemi, ingeniørvitenskap, informatikk og økonomi. Når matematisk modellering eller datasimulering brukes for å løse komplekse systemer kan et system av ikke-lineære ligninger ofte tilnærmes ved et lineært ligningssystem ved å benytte seg av lineærisering.

Elementært eksempel

Den enkleste formen av lineære ligningssystemer er to ligninger med to ukjente variabler:

${\begin{alignedat}{2}x&+y=10\\x&-y=\;4\end{alignedat}}$

En metode for å løse denne type systemer er å benytte innsettingsmetoden. Først, løs den andre ligningen med hensyn på $x$:

$x=4\;+\;y$

Så settes dette uttrykket inn for x i den første ligningen:

$\left(4+y\right)+y=10.$

Dette uttrykket inneholder nå bare variabelen $y$.Løses denne gir det $y=3$ som igjen settes tilbake i en av ligningene for å regne ut $x$ og får $x=7$

Generell form

Et generelt system av m lineære ligninger med n ukjente variabler kan skrives som

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}$

Her er $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ de ukjente variablene, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ er koeffisientene for systemet og $b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ konstantleddene.

Vektorligning

En ukjent variabel er vektingen til en kolonnevektor i en lineær kombinasjon

$x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Matriseligning

En vektorligning er det samme som en matriseligning på formen:

$A{\mathbf {x}}={\mathbf {b}}$

hvor $A$ er en m×n matrise, x er en kolonnevektor med n elementer, og b er en kolonnevektor med m elementer.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {b}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Antall vektorer i $A$ er nå uttrykt ved matrisens rang

Løsningsmengde

Løsningsmengden for ligningen x − y = −1 og 3x + y = 9 er et punktet (2, 3).

En løsning av et lineært ligningssystem er en tildeling av en verdi til alle variablene i ligningssystemet, slik at alle ligningene er simultant oppfylt. Mengden av alle mulige løsninger kalles løsningsmengde.

Et lineært ligningssystem kan ha tre mulige utfall:

1. Systemet har uendelig mange løsninger
2. Systemer har en unik løsning
3. Systemet har ingen løsninger

Geometrisk tolkning

Løsningenmengden for to ligninger med tre ukjente er som regel en linje.

I et systemet med to variabler (x og y), representerer hver ligning en linje i planet. Siden en løsning av et lineært ligningssystem må tilfredsstille alle ligninger simultant er snittet av disse linjene løsningsmengden og dermed enten en linje, et punkt eller en tom mengde.

For tre variabler representerer hver ligning et plan i det tredimensjonale rommet og løsningsmengden er snittet av de tre planene. Løsningsmengden kan være et plan, en linje, et punkt eller en tom mengde.

For n variabler representerer hver ligning et hyperplan i det n-te dimensjonale rommet.

Egenskaper

Uavhengighet

Ligningene i et lineært ligningssystem er uavhengige hvis ingen av ligningene kan utledes fra de andre. Når ligningene er uavhengige inneholder dem ny informasjon om variablene og fjernes en av ligningene øker størrelsen på løsningsmengden.

Ligningene x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, og 4x + 3y = 7 er ikke lineært uavhengige.

Ligningene

$3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;6x+4y=12$

er ikke uavhengige — de er skalert med en faktor på to og vil produsere samme graf.

Et litt mer komplekst eksempel er:

${\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}$

Dissel ligningene er heller ikke uavhengige da den tredje ligningen er summen av de to første. Hvilken som helst av de tre ligningene kan utledes fra de andre to og en av ligningene kan fjernes uten å endre løsningsmengden. Grafen av disse ligningene er tre linjer som krysser hverandre i et enkelt punkt.

Løse et lineært ligningssystem

Det finnes flere algoritmer og metoder for å løse lineære ligningssystemer

Løsningene

Når systemet har en begrenset løsningsmengde kan det uttrykkes med mengdenotasjon. For eksempel vil løsningsmengde 2,3 og 4 skrives som $\{2,3,4\}$.

Det er vanskeligere å beskrive en løsningsmengde med uendelig mange løsninger. Som regel vil en eller flere av variablene være frie variabler, noe som betyr at dem kan inneha hvilken som helst verdi mens de resterende variablene er avhengig av de frie variablenes verdi.

Følgende system er et eksempel

${\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}$

Løsningsmengden kan forklares med følgende ligninger:

$x=-7z-1\;\;\;\;{\text{og}}\;\;\;\;y=3z+2{\text{.}}$

Her er z en fri variabel, mmens x og y er avhengig av z. Hvilket som helst punkt i løsningsmengden kan oppnås ved og først velge en verdi for z og så regne ut verdiene for x og y.

Enhver fri variabel øker antall frihetsgrader i løsningsmengden med én som tilsvarer en dimensjon i løsningsmengden. Løsningen fra ligningssystemet over, er en linje, siden hvilket som helst punkt i løsningsmengden kan bli valgt ved å spesifisere verdien for parameteren z.

Forskjellige valg av verdien for fri variabler kan lede til forskjellige forklaringer på samme løsningsmengde. For eksempel kan løsningen til ligningen over også skrives som:

$y=-{\frac {3}{7}}x+{\frac {11}{7}}\;\;\;\;{\text{og}}\;\;\;\;z=-{\frac {1}{7}}x-{\frac {1}{7}}{\text{.}}$

Her er x en fri variabel mens y og z er avhengige variabler.