c-정리

양자장론에서, c-정리(영어: c-theorem)는 2차원 양자장론들의 공간 위에서, 양자장론의 자유도의 수를 나타내고, 재규격화군 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 c가 존재한다는 정리다. 재규격화군의 고정점에서, c는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하가 된다.

정의

2차원 공간 위에서, 복소 좌표 $z=x+iy$ 를 사용하자. 2차원에서 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 두 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각 $T_{zz}(z,{\bar {z}})=T(z,{\bar {z}})$ 와 $T_{z{\bar {z}}}(z,{\bar {z}})=\Theta (z,{\bar {z}})$ 로 적자. 등각 장론의 경우 후자는 0이 된다.

양자장론은 일련의 결합 상수 $g^{i}\in {\mathcal {G}}$ 및 재규격화 에너지 눈금 $\Lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ 에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 ${\mathcal {L}}(g,\Lambda ,z,{\bar {z}})$ 에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.

유동 결합 상수 ${\hat {g}}\colon \mathbb {R} ^{+}\to {\mathcal {G}}$ 가 존재하여, 모든 $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$ 에 대하여

{\mathcal {L}}({\hat {g}}(\mu ),\Lambda )={\mathcal {L}}({\hat {g}}(\alpha \mu ),\alpha \Lambda )

가 성립한다.

유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, 베타 함수 $\beta ^{i}\in \Gamma (T{\mathcal {G}})$ 가 존재하여,

{\frac {d{\hat {g}}(\mu )}{d\ln \mu }}=\beta ^{i}({\hat {g}}(\mu ))

이어야 한다.

에너지-운동량 텐서의 대각합 $\Theta (z,{\bar {z}})$ 는 다음과 같다.

\Theta (g;z,{\bar {z}})={\frac {d}{d\ln \mu }}{\mathcal {L}}({\hat {g}}(g_{0},\mu ),\Lambda ;z,{\bar {z}})=\beta ^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}(g,\Lambda ;z,{\bar {z}})}{\partial g^{i}}}

c-정리에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 $c\colon {\mathcal {G}}\to [0,\infty )$ 가 존재한다.

(단조성) $c({\hat {g}}(\mu ))$ 는 $\mu$ 에 대한 증가함수이다.
재규격화군의 고정점 ( $\beta ^{i}$ 의 영점) $g_{0}\in {\mathcal {G}}$ 에서, $c(g_{0})$ 는 이에 대응하는 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하와 일치한다.

c의 정의

다음과 같은 값들을 정의하자.

C(g)=2z^{4}\langle T(z_{0},{\bar {z}}_{0})T(0)\rangle

H_{i}(g)=z^{3}{\bar {z}}\left\langle T(z_{0},{\bar {z}}_{0}){\frac {\partial {\mathcal {L}}(0)}{\partial g^{i}}}\right\rangle

G_{ij}(g)=z^{2}{\bar {z}}^{2}\left\langle {\frac {\partial {\mathcal {L}}(z_{0},{\bar {z}}_{0})}{\partial g^{i}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}(0)}{\partial g^{j}}}\right\rangle

이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 $\Lambda _{0}={\sqrt {z_{0}{\bar {z}}_{0}}}$ 에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한, $G_{ij}(g)$ 는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 $({\mathcal {G}},G_{ij})$ 는 리만 다양체를 이룬다.