指標表

群論において、群の要素に対して表現行列の対角和（トレース）を与える写像を指標（しひょう）と呼ぶ。与えられた群について、その全ての既約表現の指標を表にまとめたものを指標表（しひょうひょう）という。

化学・結晶学・分光学において点群の指標表は、対称性の観点から分子振動を分類したり、2つの量子状態間の遷移が可能かどうかを考える場合に用いられる。

性質

以下では群とは有限群のことを指す。 群 G の既約指標のなす集合を Irr(G) とおく。 群 G の元 g に対して g^G は共役類、 C_G(g) は中心化群を表す。

• 直交関係が成り立つ。

${\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi (g){\overline {\psi (g)}}=\delta _{\chi \psi }\qquad (\chi ,\psi \in \operatorname {Irr} (G))$

$\sum _{\chi \in \operatorname {Irr} (G)}\chi (g){\overline {\chi (h)}}=\delta _{g^{G}h^{G}}\vert C_{G}(g)\vert \qquad (g,h\in G)$

• 群の位数は既約指標の次数の二乗和に等しい：$\vert G\vert =\sum _{\chi \in \operatorname {Irr} (G)}\chi (1)^{2}$ （直交関係の特別な場合。）
• 群の既約指標の数と共役類の数は等しい。
• 線型指標―すなわち χ(1) = 1 なる指標χ―の数は交換子群の指数と一致する。
• 既約指標χの次数 χ(1) は群の位数を割り切る。
• 群の正規部分群のなす束がわかる。より正確に述べると、群 G のすべての正規部分群は既約指標の核 $\ker \chi =\{\,g\in G\mid \chi (1)=\chi (g)\,\}$ のいくつかの共通部分で表せる。
• 群の単純性を判定できる。（直前の性質から正規部分群についてわかるため。）

具体例：点群C_2vの指標表

	E C2 σv σv'
A1 A2 B1 B2	1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1	Tz z , z2 , x2 , y2 Rz xy Ty , Rx y , xz Tx , Ry x , yz

• A₁, A₂, B₁, B₂ ：点群C_2vの既約表現を表すマリケン記号
• E , C₂ , σ_v , σ_v' ：対称操作
• 1 , -1 ：指標（表現行列のトレース）

References

• Alperin, J. L.; Bell, Rowen B. (1995), Groups and representations, Graduate Texts in Mathematics, 162, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94525-5, MR1369573 
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X