Transpozice matice

Matici, která vznikne z matice $\mathbf {A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme $\mathbf {A} ^{T}$ . Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

a_{ij}^{T}=a_{ji}\,

.

Pokud má matice $\mathbf {A}$ rozměry $(m,n)$ , pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$ .

Příklady

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}$
$\mathbf {A} ^{T}={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:
- $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$ .
Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:
- $(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
- $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$
Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
- $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$

Odkazy

Související články

Matice

Externí odkazy