Invariant (informatika)
Invariant cyklu je mezilehlá podmínka v algoritmu, která je v daném bodě výpočtu splněna v každém průchodu cyklem.
Definice
Invariant cyklu se používá abychom pochopili proč je algoritmus korektní. O invariantu cyklu musíme říct tři věci:
- Inicializace : Platí před první iterací cyklu.
- Průbeh : Pokud platí pred iterací cyklu, zůstane platit i před další iterací.
- Zakončení: Když cyklus skončí, invariant nám dá užitečnou vlastnost k dokázání korektnosti algoritmu.
Pokud platí první dvě části, invariant cyklu platí během každé iterace cyklu. Třetí vlastnost je možná nejdůležitější, protože jí používáme k dokázání korektnosti algoritmu.
Příklad
Takovým příkladem invariantu by mohlo být prakticky cokoli i např. Slunce je žluté. Je to podmínka která platí pořád. Při určování invariantu cyklu však musíme dbát o to, aby se námi zvolený invariant vztahoval k danému algoritmu.
Příklad invariantu cyklu na tomto algoritmu:
z=x
j=o
while j<y do
z=z-1
j=j+1
Invariant tohoto cyklu je z=x-j , teď si po jednotlivých krocích vysvětlíme proč tomu tak je.
1. Před první iterací máme:
Z" = X"
Z" = X" - 0
Z" = X" - J"
(Pro počáteční hodnotu proměnných x,z,j používám ")
2. Po první iteraci cyklu:
Z = Z" + 1 a J = J" + 1
Když si přeuspořádáme tyto rovnice tak dostaneme Z" = Z - 1 a J" = J + 1
Nyní, když začneme s rovnicí Z" = X" - J"
o které víme, že je vždy pravdivá, můžeme nahradit Z - 1 za Z" a J" = J + 1 a dostáváme:
Z - 1 = X" - (J+1)
Z - 1 = X" - J - 1
Z = X" - J
A po n iteracích dostáváme:
Z - N = X" - (J+N)
Z - N = X" - J - N
Z = X" - J
Tento invariant je užitečným tím, že po poslední iteraci cyklu J = Y". Podmínka zněla, že cyklus pokračuje pokud J<Y" a J se zvyšuje o 1 každým průchodem cyklu takže když J=Y" dostáváme se z cyklu ven. Takže proto můžeme J nahradit Y"-em a dostáváme:
Z = X" - J = X" - Y" což je přesně to co jsme chtěli dokázat.