Transpozice matice

Matici, která vznikne z matice $\mathbf {A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme $\mathbf {A} ^{T}$. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

$a_{ij}^{T}=a_{ji}\,$.

Pokud má matice $\mathbf {A}$ rozměry $(m,n)$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$.

Příklady

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{T}={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

• Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:

  $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$.

• Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:

  $(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

  $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

  $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$

Související články

• Matice

Externí odkazy

Petr Olšák - Lineární algebra

Eduard Krajník - Maticový počet