Operátor

Operátor ${\hat {A}}$ je v matematice zobrazení, které každému prvku $f$ z prostoru $X$ (například funkci) přiřazuje prvek $g$ z jiného prostoru $Y$. Zápis:

${\hat {A}}\colon X\to Y,\ f\mapsto {\hat {A}}f=g$,

kde $f\in X$, $g\in Y$.

Operátor se obvykle značí stříškou (toto značení je typické zejména pro kvantovou mechaniku), například ${\hat {H}}$, ${\hat {p}}$ apod.

Prvek $f\in X$ se nazývá vzor (nebo originál), zatímco prvek $g\in Y$ se označuje jako obraz. Množina prvků $f\in X$, pro něž je operátor ${\hat {A}}$ definován, se nazývá definiční obor operátoru a značí se ${\mathcal {D}}({\hat {A}})$. Množina obrazů $g\in Y$ všech prvků z definičního oboru operátoru se nazývá obor hodnot operátoru. Obvykle se značí ${\mathcal {R}}({\hat {A}})$.

Koncept operátoru se výrazně překrývá s pojmem zobrazení, avšak v matematice se termín „operátor“ zpravidla používá v kontextu prostorů funkcí (které jsou samy zobrazeními). Pro přehlednost a odlišení této vyšší úrovně zobrazování je vhodné používat specifický termín „operátor“.

V matematice a informatice se jako operátor rovněž označuje symbol matematické operace, například značka $+$ pro součet (viz Operátor (programování)).

Funkcionál

Pokud je $Y$ množina reálných, případně komplexních čísel (tedy obraz $g$ je reálné či komplexní číslo), pak se operátor ${\hat {A}}$ nazývá (reálný či komplexní) funkcionál. Příkladem funkcionálu je určitý integrál.

Základní druhy operátorů

Totožné operátory

Pokud pro dva operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ z $X$ do $Y$ platí ${\hat {A}}f={\hat {B}}f$ pro každé $f\in X$, pak jsou oba operátory totožné.

Operátor identity

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) ${\hat {I}}$, pro který platí

${\hat {I}}f=f$.

Působením operátoru identity ${\hat {I}}$ tedy nedochází k žádné změně.

Inverzní operátor

Operátor ${\hat {A}}^{-1}$ je inverzním operátorem k ${\hat {A}}$, pokud platí

${\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}$,

kde ${\hat {I}}$ představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztah (mají-li obě strany smysl):

${({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}$.

Lineární operátor

Lineární operátor ${\hat {A}}\colon X\to Y$ je operátor mezi vektorovými prostory $X$ a $Y$, který splňuje vztah:

${\hat {A}}\left(\sum _{i}c_{i}f_{i}\right)=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i}),$

kde $f_{i}$ jsou libovolné prvky prostoru $X$ a $c_{i}$ jsou libovolné skalární koeficienty.

Linearitu operátoru ${\hat {A}}$ lze ověřit pomocí následujících dvou podmínek:

1. ${\hat {A}}(f_{1}+f_{2})={\hat {A}}(f_{1})+{\hat {A}}(f_{2})$ pro libovolné $f_{1},f_{2}\in X$,
2. ${\hat {A}}(cf_{1})=c{\hat {A}}(f_{1})$ pro libovolné $c\in \mathbb {R}$ (nebo $\mathbb {C}$, pokud jde o komplexní prostory) a $f_{1}\in X$.

Příkladem lineárního operátoru je limita, která působí na funkce nebo posloupnosti. Dále mezi lineární operátory patří derivace, která je definována pomocí limity, a neurčitý integrál, jenž je inverzním operátorem k derivaci (až na konstantu).

Nelineárním operátorem je například operátor ${\hat {A}}=\sin$. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci $f$ vyjde ${\hat {A}}f=\sin f$.

Antilineární operátor

Operátor nazýváme antilineární, jestliže platí

${\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}$,

kde $f_{i}$ jsou libovolné funkce a $c_{i}^{*}$ jsou koeficienty komplexně sdružené k $c_{i}$.

Spojitý operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Spojité zobrazení.

Operátor ${\hat {A}}\colon X\to Y$ mezi metrickými prostory $X,Y$ je spojitý v bodě $f_{0}\in X$, jestliže pro každou posloupnost prvků $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X$ splňující $f_{n}\to f_{0}$, platí také ${\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}$, tzn. $g_{n}\to g_{0}$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě $f_{1}\in X$, je spojitý v každém bodě $f\in X$.

Omezený operátor

Operátor ${\hat {A}}$ je omezený (ohraničený), pokud existuje $\mu >0$ takové, že pro každé $f\in X$ platí

${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}\leq \mu {\|f\|}_{X}$,

kde ${\|f\|}_{X}$ je norma prvku $f$ v prostoru $X$ a ${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$ je norma prvku ${\hat {A}}f$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel $\mu$ operátoru ${\hat {A}}$ představuje normu operátoru $\|{\hat {A}}\|$, tzn.

$\|{\hat {A}}\|=\inf \,\mu$.

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel ${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$ pro všechny jednotkové prvky $f\in X$, tzn.

$\|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{X}=1}{\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$.

Operátory na Hilberových prostorech

Operátory na Hilbertových prostorech jsou klíčové v kvantové mechanice. Dále budeme využívat Diracovu notaci pro zápis skalárního součinu $\langle \cdot |\cdot \rangle$ na těchto prostorech.

Sdružený operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Sdružený operátor.

Ke každému lineárnímu operátoru ${\hat {A}}$ existuje sdružený operátor ${\hat {A}}^{+}$, který splňuje vztah

$\langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle .$

Platí vztahy:

$\|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|$,

${({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}$,

${({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}\!\!+{\hat {B}}^{+},$

${({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+},$

${(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+},$

navíc pokud existuje inverzní operátor, platí

$({\hat {A}}^{+})^{-1}=({\hat {A}}^{-1})^{+}$.

Symetrický operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Hermitovský operátor.

Operátor ${\hat {A}}$ se označuje jako symetrický (někdy také hermitovský), jestliže platí

$\langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle$

pro všechna $f$ a $g$ z definičního oboru ${\hat {A}}$.

Operátor ${\hat {A}}$ se označuje jako antihermitovský, je-li operátor $\mathrm {i} {\hat {A}}$ hermitovský.

Samosdružený operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Samosdružený operátor.

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}$,

přičemž požadujeme i rovnost definičních oborů. Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor ${\hat {A}}$ je pozitivní, když pro každé $|u\rangle$ platí

$\langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0$

Operátor se označuje jako normální, když platí

$[{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0$,

kde $[,]$ označuje komutátor.

Unitární operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Unitární operátor.

Operátor ${\hat {A}}$ je unitární, pokud platí

${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}$.

Pro libovolný unitární operátor ${\hat {A}}$ platí

$\langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle$.

Jestliže operátor ${\hat {M}}$ splňuje vztah

$\langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle$,

pak operátor ${\hat {M}}$ označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah ${\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}$, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být ${\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}$.

Projekční operátor

Podrobnější informace naleznete v článku Projekce (lineární algebra).

Omezený lineární operátor ${\hat {E}}$ se označuje jako projekční, splňuje-li podmínku

${\hat {E}}={\hat {E}}^{2}$.

Pokud navíc ${\hat {E}}={\hat {E}}^{+}$, jde o ortogonální projekci.

Je-li ${\hat {E}}$ projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

${\hat {E}}'={\hat {I}}-{\hat {E}}$,

kde ${\hat {I}}$ představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

${\hat {E}}+{\hat {E}}'={\hat {I}}$,

${\hat {E}}{\hat {E}}'=0$.

Je-li $|\psi _{k}\rangle$ vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na $|\psi _{k}\rangle$ lze vyjádřit jako

${\hat {E}}_{k}={|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|$

Jestliže množina vektorů $\{{|\psi _{k}\rangle }\}$ tvoří ortonormální bázi podprostoru $H_{1}$, pak projekční operátor do $H_{1}\subset H$ vyjádříme jako

$\sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|$.

Pokud je $H_{1}=H$, pak je projekční operátor operátorem identity, takže

$\sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|={\hat {I}}$.

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

Součtem dvou operátorů ${\hat {A}},{\hat {B}}$ vznikne operátor ${\hat {C}}={\hat {A}}+{\hat {B}}$, pro který platí

${\hat {C}}u=({\hat {A}}+{\hat {B}})u={\hat {A}}u+{\hat {B}}u$.

Operátor ${\hat {C}}$ označíme jako součin operátorů ${\hat {A}}$ a ${\hat {B}}$, tzn. ${\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}$, pokud pro každé $u$ platí

${\hat {C}}u={\hat {A}}({\hat {B}}u)$.

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například ${\hat {A}}^{2}={\hat {A}}{\hat {A}}$.

Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory ${\hat {A}}{\hat {B}}\neq {\hat {B}}{\hat {A}}$. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů ${\hat {A}},{\hat {B}}$, zavádíme tzv. komutátor operátorů

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$.

Dva komutativní operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ splňují pro libovolné $u$ vztah

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$.

Jsou-li hermitovské operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ komutují, tedy $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$, pak pro libovolné funkce $f$, $g$ platí

$[f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0$.

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$.

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]$,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]$,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}$,

$[{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}$,

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}=\{{\hat {B}},{\hat {A}}\}$

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}+\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}$,

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}$,

$\{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]$.

Platí také Jacobiho identita

$[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0$.

Použití

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice.

Související články

• Zobrazení
• Vlastní číslo
• Vektorový prostor
• Kvantová fyzika

Autoritní data	PSH: 7683