Transpozice matice

Matici, která vznikne z matice ${\boldsymbol {A}}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici ^[1] a značíme ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ . Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji}\,

.

Pokud má matice ${\boldsymbol {A}}$ rozměry $(m,n)$ , pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$ .

Ukázky

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}$
${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:
- $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}\quad \,$
Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:
- $(c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,$
Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
- $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\,$
Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
- $\left({\boldsymbol {AB}}\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,$
Transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:
- $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,$