Jacobiho matice a determinant

Jacobiho determinant (také jacobián) je determinant Jacobiho matice. Je pojmenován podle slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Definice

Nechť ${\vec {f}}:R^{n}\rightarrow R^{n}$ je diferencovatelná v bodě ${\vec {x}}\in R^{n}$ . Jacobiánem funkčního vektoru ${\vec {f}}$ v bodě ${\vec {x}}$ pak nazveme determinant

$J_{\vec {f}}({\vec {x}})=$ $det{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f1}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$ $({\vec {x}})$.

Příklad

Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

$x=\varrho .cos\varphi$

$y=\varrho .sin\varphi$, kde $\varrho \in R^{+}$ a $\varphi \in (0,2\pi )$

Platí tedy:

$J_{(x,y)}(\varrho ,\varphi )=$ ${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}$ $=$ ${\begin{vmatrix}cos\varphi &-\varrho .sin\varphi \\sin\varphi &\varrho .cos\varphi \end{vmatrix}}$ $=\varrho$

Literatura

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.