Jacobiho matice a determinant

Jacobiho determinant, nebo také Jacobián je determinant Jacobiho matice. Jeho název je pojmenován podle slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Definice

Nechť ${\vec {f}}:R^{n}\rightarrow R^{n}$ je diferencovatelná v bodě ${\vec {x}}\in R^{n}$ . Jacobiánem funkčního vektoru ${\vec {f}}$ v bodě ${\vec {x}}$ pak nazveme determinant

$J_{\vec {f}}({\vec {x}})=$ $det{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f1}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$ $({\vec {x}})$.

Příklad

Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

$x=\varrho .cos\varphi$

$y=\varrho .sin\varphi$, kde $\varrho \in R^{+}$ a $\varphi \in (0,2\pi )$

Platí tedy:

$J_{(x,y)}(\varrho ,\varphi )=$ ${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}$ $=$ ${\begin{vmatrix}cos\varphi &-\varrho .sin\varphi \\sin\varphi &\varrho .cos\varphi \end{vmatrix}}$ $=\varrho$

Literatura

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.