„Zeta-Verteilung“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 18. Mai 2024, 20:29 Uhr

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen $x=1,2,3,\dotsc$ die Wahrscheinlichkeiten

P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}}

zuordnet, wobei $s>1$ ein Parameter und $\zeta (s)$ die riemannsche Zetafunktion ist.

Ihr $k$ -tes Moment existiert, falls $s>k+1$ , und liegt in diesem Fall bei

E(X^{k})={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}

.

Die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable sind wiederum unabhängige Zufallsvariablen. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Zipf distribution. In: MathWorld (englisch).
Größe von US-Firmen gehorcht der mathematischen Zipf-Verteilung auf wissenschaft.de

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+[[Datei:Zeta distribution PMF.png|thumb|right|Zeta-Verteilung mit verschiedenen Parameterwerten von ''s'']]
-Die '''Zipf-Verteilung''' oder '''Zeta-Verteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mit
+Die '''Zeta-Verteilung''' (auch '''Zipf-Verteilung''' nach [[George Kingsley Zipf]]) ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]]. Sie ist [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariat]] und eine [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]], die den natürlichen Zahlen <math>x=1,2,3, \dotsc</math> die Wahrscheinlichkeiten
-einer [[Dichtefunktion]] für diskrete Werte <math>x=1,2,\ldots</math>:
-<math>P(X=x)=\frac{x^{-s}}{\zeta(s)}</math>
+:<math>P(X=x)=\frac{x^{-s}}{\zeta(s)}</math>
-wobei <math>s > 1</math> ein Parameter und <math>\zeta(s)</math> die Riemannsche [[Zeta-Funktion]] ist.
+zuordnet, wobei <math>s>1</math> ein Parameter und <math>\zeta(s)</math> die [[riemannsche Zetafunktion]] ist.
 <!-- Ihre [[Verteilungsfunktion]] ist
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 <math>P(X\lgx) = </math> -->
+Ihr <math>k</math>-tes [[Moment (Stochastik)|Moment]] existiert, falls <math>s > k + 1</math>, und liegt in diesem Fall bei
-Ihre [[Wahrscheinlichkeitsmoment|Momente]] liegen bei
+:<math>E(X^k) = \frac{\zeta(s - k)}{\zeta(s)}</math>.
+Die Anzahl unterschiedlicher [[Primfaktor]]en einer Zeta-verteilten [[Zufallsvariable]] sind wiederum unabhängige Zufallsvariablen. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.
-<math>E(X^k) = \frac{\zeta(s - k)}{\zeta(s)}</math>.
+Zur Motivation dieser Verteilung siehe [[Zipfsches Gesetz]].
-Es kann gezeigt werden, dass die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten [[Zufallsvariable]]
-wiederum unabhängige Zufallsvariablen sind. Dies ist bei allen anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht der Fall.
-'''Siehe auch''': [[Zipfsches Gesetz]], [[Pareto-Verteilung]]
 ==Weblinks==
+*{{MathWorld| id = ZipfDistribution| title = Zipf distribution| author = }}
-* http://www.wissenschaft.de/wissen/news/152210.html
+* [https://www.wissenschaft.de/technik-digitales/groesse-von-us-firmen-gehorcht-der-mathematischen-zipf-verteilung/ Größe von US-Firmen gehorcht der mathematischen Zipf-Verteilung] auf wissenschaft.de
+{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
-[[en:Zeta distribution]]
+[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
-[[es:Distribución zeta]]
+[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]