„Diskussion:Mandelbrot-Menge“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 1. März 2025, 04:31 Uhr

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Mandelbrot-Menge“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Archiv

2004 bis 2011 ab 2012
Wie wird ein Archiv angelegt?

Keine Quellen für Programmierbeispiele

Letzter Kommentar: vor 8 Monaten4 Kommentare3 Personen sind an der Diskussion beteiligt

Die Programmierbeispiele sind nicht mit Quellenangaben versehen, handelt es sich hier um Originial Research ("Theoriefindung")? Falls ja, würde ich sie zeitnah entfernen, damit die Seite regelkonform wird. --2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4 23:21, 26. Aug. 2024 (CEST)Beantworten

Zwei Programmbeispiele habe ich entfernt, weil ich sie selbst programmiert habe und daher weiß, dass es keine Quellen für sie gibt. Über die anderen Programmbeispiele habe ich keine Informationen, deshalb lasse ich sie so, wie sie sind. --Majow (Diskussion) 23:32, 31. Aug. 2024 (CEST)Beantworten

@2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4 --Janosch2411 (Diskussion) 19:36, 21. Sep. 2024 (CEST)Beantworten

Ich habe die Programmbeispiele entfernt, vgl. den Abschnitt #Kürzungen am Artikel notwendig. --Majow (Diskussion) 08:50, 27. Okt. 2024 (CET)Beantworten

Kürzungen am Artikel notwendig

Letzter Kommentar: vor 7 Monaten1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Aus meiner Sicht waren Kürzungen im Artikel notwendig. Ich hatte in den letzten Tagen einige Kürzungen vorgenommen, für die ich heftig kritisiert und aufgefordert wurde, sie rückgängig zu machen.

Aber der Artikel war vollgestopft mit Details, die das Lesen und Verstehen unnötig erschwerten. Meiner Meinung nach sollten solche Details in Wikibooks ausgelagert werden.

Das betraf die Programmbeispiele, für die es glücklicherweise ein sehr gutes Wikibook gibt (man findet es bei den Weblinks), die Bildergalerien, die über den Artikel verstreut waren und die ich nur leicht gekürzt habe, den Abschnitt über die Dichteverteilung, für den ich eine sehr gute und knappe Darstellung rekonstruieren konnte, und meine eigenen Beiträge im Abschnitt Praktische Berechnung, die ich ebenfalls stark gekürzt habe.

Mit dieser Detailfülle wäre der Artikel nie in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen worden. Ich bin dankbar für Rückmeldungen, denn ich halte die anonyme Bemerkung für richtig, dass hier über das Ziel eines Lexikons hinausgeschossen wurde.

Entfernung der Programmbeispiele: Ich habe die Programmbeispiele entfernt, und zwar aus den folgenden Gründen:

1. Die ersten beiden Programmbeispiele werden analog in dem ausführlichen Wikibook Das Apfelmännchen beschrieben. Das Wikibook ist an dritter Position in den Weblinks aufgeführt.

2. Das dritte Programmbeispiel demonstriert, wie der Index des Folgenglieds mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung durch Zählen ermittelt wird. Es ist somit eine Realisierung eines einfachen arg min-Operators, der in einigen Programmiersprachen schon vorhanden ist, z. B. numpy.argmin. Das eigentliche Thema wird ausführlich im Abschnitt Die kreisförmigen Strukturen erläutert, wobei es dort genauer um die Periodizität des Grenzzyklus geht, und nicht um den Index, bei dem $|z_{n}|$ minimal ist. An den Grafiken erkennt man auch, dass es nicht dasselbe ist.

3. Das vierte Programmbeispiel behandelt die Möglichkeit, die Mandelbrot-Menge ohne einen Computer zeichnerisch zu ermitteln. Dieser Prozess wird von Norbert Treitz in der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft erklärt, und der Artikel Mandelbrots Apfelmännchen ist auch in den Weblinks verlinkt. Das Programmbeispiel macht jetzt aus dieser geometrischen Möglichkeit wieder ein Computerprogramm und bildet dabei trigonometrische Funktionen nach. Dabei gibt es zwei Freiheiten, nämlich die Wahl des Ursprungs Null und der Einheit Eins (im Programmbeispiel Imaginärpunkt genannt). Das führt dazu, dass die Mandelbrot-Menge - aus dem anderen Koordinatensystem mit fixer Null und Eins heraus betrachtet, welches zur Beschreibung des neuen Ursprungs und der neuen Einheit benötigt wird - verschoben, gedreht und gestreckt oder gestaucht erscheint, je nachdem, wie der Ursprung und die Einheit gewählt wurden. So eine Verschiebung und Drehstreckung lässt sich aber ohne Trigonometrie viel einfacher erreichen: Eine Verschiebung erreicht man durch Addition, eine Drehstreckung durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl. Im Prinzip macht das Programm aus der Iteration $z\rightarrow z\cdot z+c$ eine äquivalente Iteration ${\tbinom {x}{y}}\rightarrow rM\cdot {\tbinom {x}{y}}+{\tbinom {a}{b}}$ mit einem Streckungsfaktor $r=|{\tbinom {x}{y}}|$ und einer Drehmatrix $M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}.$ Daneben gibt es noch eine zweite Drehmatrix, weil ja die ganze Mandelbrotmenge durch die Wahl einer neuen Einheit (des Imaginärpunkts) einer Drehstreckung unterzogen wird. Von der Äquivalenz der Darstellungen kann man sich hier bei Google Colab selbst überzeugen.

Erklärung nach einer kürzlichen Vandalismusmeldung: Da es nach meiner Kürzung bei der Dichteverteilung eine Vandalismusmeldung gab, möchte ich kurz erklären, warum ich sie für notwendig halte. Dazu habe ich hier nochmal beide Fassungen im Vergleich aufgeführt:

Ältere und nun wiederhergestellte Fassung	Neuere und nun ersetzte Fassung
Dichteverteilung der Folgenglieder Akkumulierte Dichteverteilung der Folgenglieder für alle c-Werte in einer farbkodierten Darstellung Das nebenstehende Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrot-Menge tendieren zu einer Konvergenz zu einem $c$ -Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die konjugierten Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode 2 für große Folgenindizes).	Dichteverteilung der Folgenglieder Akkumulierte Dichteverteilung der Folgenglieder für alle $c$ -Werte in einer farbkodierten Darstellung Orbit-Bild Orbit-Ursprung im Satelliten (S) Abbild 1 des Orbits Abbild 2 des Orbits Abbild 3 des Orbits Das nebenstehende Bild zeigt, wie oft ein Bildpunkt von einem Zwischenergebnis aller Iterationen getroffen wird. Im Bereich von $\|z\|<2$ wird jedes Pixel mindestens einmal getroffen und aufsummiert. Innerhalb der $\mathbb {M}$ können bei diesem Bild Werte bis zu 30000 auftreten. Bei einem Kontrast von 1:30000 kann man jedoch Feinheiten im $\mathbb {M}$ -Rand nicht mehr leicht erkennen. Bei Blende bis 1000 sind Strukturen zu erkennen, die am äußersten Rand der $\mathbb {M}$ liegen. Diese sind erzeugt durch die Zwischenergebnisse der periodischen Iterationen von Satelliten-Mengen. Diese Orte werden im Film mit einem grünen Pfeil gezeigt. Einer dieser Orte soll im nächsten Orbit-Bild näher dokumentiert werden. Im Orbit-Bild wurden alle Iterationsergebnisse herausgefiltert, die nicht im Auswahlbereich bei Punkt 1 enthalten sind. So ist erkennbar, dass diese Orbits von einem Satelliten der Periode 3 ausgehen (Punkt S). In den nächsten Bildern sind diese vier Orbit-Aufsummierungen gezoomt gezeigt. Dieses Beispiel gilt für alle Satelliten. Für die meisten Satelliten ist jedoch ein viel höheres Iterationslimit nötig (hier nur 100). Dadurch steigt der erzeugte Kontrast erheblich, womit solche Feinheiten immer schlechter zu zeigen sind.
Version bis 22. Mai 2021, 11:26 Uhr	Version ab 22. Mai 2021, 11:26 Uhr

Die ältere Version enthält ein gutes Bild und erklärt kurz, aber verständlich, was es bedeutet. Die auffallend hellen Bereiche mit hoher Dichteverteilung werden besprochen und die Farben können leicht den Dichten zugeordnet werden.

Die neuere Version ersetzt das eine gute Bild durch zwölf (!) weniger gute Bilder, wobei nicht einmal mehr die Farben den Dichten zugeordnet werden können. Sieben Bilder sind in einer Animation versteckt: Es ist eigentlich nur ein Bild, das mit verschiedenen Iterationszahlen siebenmal neu berechnet wird. In der Animation wird dies als Blende n bezeichnet, da eine Neuberechnung mit kleineren Iterationszahlen durch die Funktion $B_{n}(x)=\operatorname {min} (x,n)$ technisch vermeidbar ist.

Das Vorschaubild der Animation mit Blende 5000 ist falsch, da es sich um eine Kopie des Bildes mit Blende 30000 handelt, die wahrscheinlich eingefügt wurde, um die Vorschau besser aussehen zu lassen.

Natürlich kann man bei kleineren Iterationszahlen Details erkennen, die bei größeren Iterationszahlen immer mehr verschwimmen. Es ist aber nicht notwendig, diese durch Pfeile in einer Animation hervorzuheben und durch ein langes Beispiel, in dem ein konkreter Zwischenzyklus näher betrachtet wird, ausführlich zu erläutern. Das trägt meines Erachtens nicht wirklich zum Verständnis bei. Stattdessen sollte kurz erklärt werden, was auffällig ist, und nicht ausgiebig diskutiert werden, was nur ein Fachmann erkennen kann. Solche "Details für Experten" sollten in ein entsprechendes Wikibook ausgelagert werden.

Wer meint, man müsse alle Details erklären, sollte einen Blick auf Mu-Ency - The Encyclopedia of the Mandelbrot Set werfen. Gerade zur Mandelbrot-Menge gibt es so viele Details, dass man dafür eine eigene Enzyklopädie braucht. --Majow (Diskussion) 14:29, 3. Nov. 2024 (CET)Beantworten

Missverständnis bei Dichteverteilung und Buddhabrot

Letzter Kommentar: vor 8 Monaten1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Das wurde aus der Dichteverteilung herausgefiltert

Das ist von der Dichteverteilung übrig geblieben

In der Versionsgeschichte des Artikels bin ich auf ein Missverständnis gestoßen, und zwar auf die Annahme, die Buddhabrot sei nur ein Zufallsprozess. Das ist falsch, denn die Buddhabrot entsteht völlig deterministisch, es ist kein Zufallsprozess notwendig. Sie ist einfach eine Dichteverteilung, bei der man nur diejenigen Punkte betrachtet, für die die Mandelbrotfolge bestimmt divergiert. Alle Punkte, die nicht divergieren, filtert man zuvor heraus. Weil auf diese Weise viele Punkt aus dem Punktegitter verschwinden, muss man ein ein sehr dichtes Punktegitter verwenden, um ein gutes Bild mit der stark reduzierten Punktmenge zu erhalten. Jetzt kommt eine Idee, die man so auch bei Path Tracing anwendet: Anstatt das Punktegitter im Voraus festzulegen, lässt man sehr viele zufällige Punkte nacheinander berechnen. Auf diese Weise wird das Bild mit der Zeit immer schärfer und nähert sich immer mehr an die (deterministische) Dichteverteilung mit einem unendlich dichten Punktegitter an. Im Prinzip wird durch einen geeigneten stochastischen Prozess das Punktegitter mit der Zeit immer dichter und das Bild der Dichteverteilung immer genauer. Man kann den Prozess dann abbrechen, wenn das Bild der Dichteverteilung gut genug ist.

Wenn man den stochastischen Prozess nicht möchte, kann man auch mit einem groben Punktegitter beginnen und es schrittweise immer weiter verfeinern. Da dadurch die zu berechnende Punktemenge mindestens quadratisch anwächst, dauert die Berechnung jeder weiteren Verfeinerung immer länger. Verdoppelt man einfach die Punktedichte bei jeder Verfeinerung, so handelt es sich sogar um exponentielles Wachstum. An dieser Stelle muss man sich dann überlegen, wie man diesen Prozess so gestalten kann, dass er jederzeit abgebrochen werden kann, ohne das Bild dabei wesentlich zu verfälschen. Dann ist es viel einfacher, entweder im Voraus ein ausreichend dichtes Punktegitter zu wählen, oder noch einfacher, gar kein Punktegitter festzulegen und einen geeigneten stochastischen Prozess zu wählen, den man jederzeit abbrechen kann. --Majow (Diskussion) 18:49, 22. Okt. 2024 (CEST)Beantworten

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+{{War AdT|1=30. August 2010}}
+{{Diskussionsseite}}
+{{Autoarchiv|Alter=180|Frequenz=ständig|Ziel='Diskussion:Mandelbrot-Menge/Archiv/2'|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=3}}
+{{Archivübersicht|
+* [[/Archiv/1|2004 bis 2011]]
+* [[/Archiv/2|ab 2012]]
+}}
+== Keine Quellen für Programmierbeispiele ==
+Die Programmierbeispiele sind nicht mit Quellenangaben versehen, handelt es sich hier um Originial Research ("Theoriefindung")? Falls ja, würde ich sie zeitnah entfernen, damit die Seite regelkonform wird. --[[Spezial:Beiträge/2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4|2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4]] 23:21, 26. Aug. 2024 (CEST)
-'''Ausgelagerte ältere Beiträge:'''
+:Zwei Programmbeispiele habe ich entfernt, weil ich sie selbst programmiert habe und daher weiß, dass es keine Quellen für sie gibt. Über die anderen Programmbeispiele habe ich keine Informationen, deshalb lasse ich sie so, wie sie sind. --[[Benutzer:Majow|Majow]] ([[Benutzer Diskussion:Majow|Diskussion]]) 23:32, 31. Aug. 2024 (CEST)
-*[[Diskussion:Mandelbrot-Menge/Archiv1]]: März 2004 – Oktober 2005
+:@[[Benutzer:2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4|2A01:C22:A8E6:D000:34B6:376C:4396:AEE4]] --[[Benutzer:Janosch2411|Janosch2411]] ([[Benutzer Diskussion:Janosch2411|Diskussion]]) 19:36, 21. Sep. 2024 (CEST)
+Ich habe die Programmbeispiele entfernt, vgl. den Abschnitt [[#Kürzungen am Artikel notwendig]]. --[[Benutzer:Majow|Majow]] ([[Benutzer Diskussion:Majow|Diskussion]]) 08:50, 27. Okt. 2024 (CET)
+== Kürzungen am Artikel notwendig ==
+Aus meiner Sicht waren Kürzungen im Artikel notwendig. Ich hatte in den letzten Tagen einige Kürzungen vorgenommen, für die ich heftig kritisiert und aufgefordert wurde, sie rückgängig zu machen.
+Aber der Artikel war vollgestopft mit Details, die das Lesen und Verstehen unnötig erschwerten. Meiner Meinung nach sollten solche Details in Wikibooks ausgelagert werden.
-==Zur Länge der Grenzzyklen ==
-[[Bild:Mandelzyklenlaenge.png|thumb|Länge der Grenzzyklen in der Mandelbrotmenge in farbiger Darstellung. Der Bereich außerhalb ist in Graustufen dargestellt]]
+Das betraf die Programmbeispiele, für die es glücklicherweise ein sehr gutes Wikibook gibt (man findet es bei den Weblinks), die Bildergalerien, die über den Artikel verstreut waren und die ich nur leicht gekürzt habe, den Abschnitt über die Dichteverteilung, für den ich eine sehr gute und knappe Darstellung rekonstruieren konnte, und meine eigenen Beiträge im Abschnitt Praktische Berechnung, die ich ebenfalls stark gekürzt habe.
-gerechnet, nicht gemalt. [[Benutzer:AlterVista|AlterVista]] 00:09, 28. Okt 2005 (CEST)
+Mit dieser Detailfülle wäre der Artikel nie in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen worden. Ich bin dankbar für Rückmeldungen, denn ich halte die anonyme Bemerkung für richtig, dass hier über das Ziel eines Lexikons hinausgeschossen wurde.
-:Mal 'ne gute Idee zur Visualisierung der Grenzzyklen. Zumindest besser, als die Idee mit der Farblichen Darstellung der Richtung der Folge;-) Das Bild ist schon etwas aussagekräftiger, als das schwarze, was an dieser Stelle im Artikel ist.
+'''Entfernung der Programmbeispiele:'''
-:Aber:
+Ich habe die Programmbeispiele entfernt, und zwar aus den folgenden Gründen:
-: * Die Farbwahl ist aus ästhetischer Sichweise -wie hat sich unsers Exkanzlers Frau ausgedrückt- ... suboptimal.
-: * Wie hast du das ausgerechnet? Die Farbgebung von einigen kleineren Knospen widerspricht den Aussagen des Artikels. Kann es sein, dass etwa ein 8-er Zyklus als 2-er oder -4er Zyklus erscheint, weil er in Wirklichkeit zwischen vier bzw. zwei nahe beieinanderliegenden Zyklen wechselt?
-:[[Benutzer:Hoehue|Hoehue]] 20:02, 29. Okt 2005 (CEST)
-:Es sind ja "Grenz"zyklen, im Normalfall also keine exakt geschlossenen Kurven, wenn man nach endlicher Anzahl Iterationsschritte auf die Periodendauer testet. Die Folge nähert sich dem Zyklus nur an. Man muss im Programm somit unterscheiden, wie nah zwei Punkte zusammenliegen dürfen, damit sie noch unterschieden werden und nicht als ein Punkt gelten. Ich habe also erstmal für jeden Punkt 100.000 Iterationsschritte gemacht, und wenn der Punkt zur Menge gehört hat, maximal sechs weitere Schritte. Wenn bei diesen sechs weiteren Schritten ein Punkt auftrat, der maximal epsilon=0.1 vom einmillionsten Wert entfernt ist, gilt der Zyklus als geschlossen. epsilon ist ja nicht wirklich klein. Ich wollte noch weitere Tests machen. Ob die Periode der Grenzzyklen analytisch berechnet werden kann, weiß ich nicht. Daher habe ich die Grafik erstmal hierrein gestellt. ("gerechnet nicht gemalt" ist daher auch eine Einschränkung, die auf die Numerik verweist.) Was die Farben angeht, habe ich eben die sechs extremen genommen. Wer will kann ja Vorschläge zur Verbesserung machen, oder das Bild umfärben. Ist ja kein Aufwand.[[Benutzer:AlterVista|AlterVista]] 20:58, 29. Okt 2005 (CEST)
+. Die ersten beiden Programmbeispiele werden analog in dem ausführlichen Wikibook ''Das Apfelmännchen'' beschrieben. Das Wikibook ist an dritter Position in den Weblinks aufgeführt.
-: Ich hab' vorhin mal deine Idee aufgegriffen und ein bisschen rumgespielt.[[Benutzer:Hoehue|Hoehue]] 01:00, 30. Okt 2005 (CEST)
+. Das dritte Programmbeispiel demonstriert, wie der Index des Folgenglieds mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung durch Zählen ermittelt wird. Es ist somit eine Realisierung eines einfachen [[arg min]]-Operators, der in einigen Programmiersprachen schon vorhanden ist, z.&nbsp;B. [https://numpy.org/doc/2.0/reference/generated/numpy.argmin.html numpy.argmin]. Das eigentliche Thema wird ausführlich im Abschnitt ''Die kreisförmigen Strukturen'' erläutert, wobei es dort genauer um die Periodizität des Grenzzyklus geht, und nicht um den Index, bei dem <math>|z_n|</math> minimal ist. An den Grafiken erkennt man auch, dass es nicht dasselbe ist.
-::Grafisch ist das inzwischen durchaus ansprechend. Für das Ablesen der Periodizität muss aber der Leser ständig zwischen Figur und der Zuordnungsliste zu den Farben hin und her schauen. Warum also nicht gleich die Zahlen dran schreiben? Mit den Zahlen erkennt man auf einen Blick die Gesetzmäßigkeiten wie die Periodizitätsfolgen 2, 3, 4, 5, ... vom "Kopf" zur Kardioidkerbe hin oder 3, 5, 7, 9, ... vom "Arm" ins "Tal der Seepferdchen". Und das ist ja der eigentliche Erkenntnisgewinn. Habe zu diesen Gesetzmäßigkeiten etwas Text hinzugefügt und das ganze etwas weiter nach vorne geholt, da es weniger Mathematik erfordert als der Abschnitt über attraktive Zyklen. Man würde diese Folgen leichter erkennen, wenn eure Farbpalette ein etwas kontinuierlicheres Spektrum für die Abhängigkeit von Periodizität zu Farbe wäre, eher so wie bei wissenschaftlichen Falschfarbendarstellungen von Intensitäten üblich. Das wäre allerdings eine partiell redundante Information, da man ja schon über die Größe der "Knospen" eine Vorstellung über die Periodizität bekommt. Andererseits hat die Kodierung mit Farben den Vorteil, dass man auch die Periodizität sehr kleiner Objekte wie z. B. der größeren Satelliten erkennt. Hatte schon überlegt, in diesem Fall die Zahlen daneben zu schreiben und mit einem Pfeile auf die zugehörige Flächen zu verweisen. Sieht aber nicht schön aus. Vielleicht wäre eine Kombination aus Zahlen und Farben ideal. Man müsste die Farbzuordnung dann nicht mit Worten beschreiben. Evtl. würde es auch reichen, eine Farbleiter ins Bild zu integrieren und mit Zahlen zu versehen. Hallo Hoehue, rechne mal mit einem Abbruchkriterium |z<sub>n</sub>|>1000 statt |z<sub>n</sub>|>2, dann werden die Streifenbreiten außerhalb von M sehr viel harmonischer. Der zusätzliche Rechenzeitbedarf ist minimal, da die Folge ab |z<sub>n</sub>|>2 überexponentiell divergiert. --[[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 02:27, 30. Okt 2005 (CEST)
+. Das vierte Programmbeispiel behandelt die Möglichkeit, die Mandelbrot-Menge ohne einen Computer zeichnerisch zu ermitteln. Dieser Prozess wird von Norbert Treitz in der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft erklärt, und der Artikel ''Mandelbrots Apfelmännchen'' ist auch in den Weblinks verlinkt. Das Programmbeispiel macht jetzt aus dieser geometrischen Möglichkeit wieder ein Computerprogramm und bildet dabei trigonometrische Funktionen nach. Dabei gibt es zwei Freiheiten, nämlich die Wahl des Ursprungs Null und der Einheit Eins (im Programmbeispiel Imaginärpunkt genannt). Das führt dazu, dass die Mandelbrot-Menge - aus dem anderen Koordinatensystem mit fixer Null und Eins heraus betrachtet, welches zur Beschreibung des neuen Ursprungs und der neuen Einheit benötigt wird - verschoben, gedreht und gestreckt oder gestaucht erscheint, je nachdem, wie der Ursprung und die Einheit gewählt wurden. So eine Verschiebung und [[Drehstreckung]] lässt sich aber ohne Trigonometrie viel einfacher erreichen: Eine Verschiebung erreicht man durch Addition, eine Drehstreckung durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl. Im Prinzip macht das Programm aus der Iteration <math>z \rightarrow z \cdot z + c</math> eine äquivalente Iteration <math>\tbinom{x}{y} \rightarrow r M \cdot \tbinom{x}{y} + \tbinom{a}{b}</math> mit einem Streckungsfaktor <math>r = |\tbinom{x}{y}|</math> und einer [[Drehmatrix]] <math>M =\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha &\cos\alpha\end{pmatrix}.</math> Daneben gibt es noch eine zweite Drehmatrix, weil ja die ganze Mandelbrotmenge durch die Wahl einer neuen Einheit (des Imaginärpunkts) einer Drehstreckung unterzogen wird. Von der Äquivalenz der Darstellungen kann man sich [https://colab.research.google.com/drive/1lH8cfMwPsuCWizEreetCyBm6AIjDKqSJ?usp=sharing hier] bei Google Colab selbst überzeugen.
-:: Ja. Die Zahlen gehören natürlich noch dazu. Stellt sich nur noch die  Frage, ob man die Zahlen überall reinmacht, wo's geht, oder nur jeweils einmal. Nur in die jeweils größte Knowpe ist auch blöd, weil sie dann ziemlich verstreut sind. Ich hab' jetzt mal die Zahlen 1 bis 9 in die Folge von Knospen mit Abstand 1 oberhalb des Kardioids reingeschrieben. Oder ist eine Legende doch besser? Ich versuche mir da einen Leser vorzustellen, der die Aussagen des Textes etwa über die Knospen an den Satelliten nachvollziehen will. Er muss dann immer wieder wohin scrollen, wo die entsprechenden Zahlen stehen. Legende in separatem Bild?
-:: Zur Farbpallette: Sag nicht "eure" Farbpallette. Meine ist eine gaanz andere, als die von [[Benutzer:Altervista|Altervista]]! Aber ich muss gestehen, dass ich auch noch nicht so ganz glücklich damit bin. Ich wollte gerne deutlich unterscheidbare Farben für die kleineren Zahlen und dann einen glatten Übergang hin zu schwarz für große Zahlen. Wenn du mir einen Verweis zu einer Darstellung mit dem Farbverlauf, den du im Kopf hast geben kannst, wäre das schön. Ideal wäre natürlich eine Rechenvorschrift. Die Größe der Knospen reicht übrigens nicht aus, um die Länge des Grenzzyklus abzulesen. Es gibt Beispiele, wo eine Knospe mit längerem Grenzzyklus größer ist, als eine andere mit kürzerem Grenzzyklus. Das mit dem größeren Wert für die Abbruchbedingung bau ich ein, wenn ich's nochmal mit anderen Farben mache. [[Benutzer:Hoehue|Hoehue]] 09:52, 30. Okt 2005 (CET)
-:::Sehr schön Hoehue. Die eine oder andere Zahl könnte sich in schwarz besser von der sie umgebenden Farbe abheben. Ansonsten prima. Ich konnte das Bild mit pngcrush nochmal um 200KB verkleinern. Kann ich mit der endgültigen Version auch machen. (Oder Du installierst pngcrush selbst :) ) [[Benutzer:AlterVista|AlterVista]] 11:49, 30. Okt 2005 (CET)
+'''Erklärung nach einer kürzlichen Vandalismusmeldung:'''
-::::Eine interessante Palette wäre vielleicht ausgehend von dunkelblau, über gelb nach rot, und dunkelrot z. B. mit den RGB-Werten
+Da es nach meiner Kürzung bei der Dichteverteilung eine Vandalismusmeldung gab, möchte ich kurz erklären, warum ich sie für notwendig halte. Dazu habe ich hier nochmal beide Fassungen im Vergleich aufgeführt:
+{| class="wikitable toptextcells"
+|-
+! Ältere und nun wiederhergestellte Fassung !! Neuere und nun ersetzte Fassung
+|-
+| '''Dichteverteilung der Folgenglieder'''
+[[Datei:TrajectoriesDensityplot.jpg|mini|Akkumulierte Dichteverteilung der Folgenglieder für alle ''c''-Werte in einer farbkodierten Darstellung]]
+Das nebenstehende Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrot-Menge tendieren zu einer Konvergenz zu einem <math>c</math>-Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugierten]] Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode&nbsp;2 für große Folgenindizes).
+|| '''Dichteverteilung der Folgenglieder'''
+[[Datei:MBM-AufsummierungB7.webm|mini|Akkumulierte Dichteverteilung der Folgenglieder für alle {{nowrap|<math>c</math>-Werte}} in einer farbkodierten Darstellung]]
+[[Datei:MBM-Aufsummierung-Orbit.jpg|mini|Orbit-Bild]]
+[[Datei:MBM-Aufsummierung-Ursprung.jpg|mini|Orbit-Ursprung im Satelliten (S)]]
+[[Datei:MBM-Aufsummierung-Abbild-1.jpg|mini|Abbild 1 des Orbits]]
+[[Datei:MBM-Aufsummierung-Abbild-2.jpg|mini|Abbild 2 des Orbits]]
+[[Datei:MBM-Aufsummierung-Abbild-3.jpg|mini|Abbild 3 des Orbits]]
+Das nebenstehende Bild zeigt, wie oft ein Bildpunkt von einem Zwischenergebnis aller Iterationen getroffen wird. Im Bereich von <math>|z| < 2</math> wird jedes Pixel mindestens einmal getroffen und aufsummiert. Innerhalb der <math>\mathbb M</math> können bei diesem Bild Werte bis zu 30000 auftreten. Bei einem Kontrast von 1:30000 kann man jedoch Feinheiten im {{nowrap|<math>\mathbb M</math>-Rand}} nicht mehr leicht erkennen. Bei Blende bis 1000 sind Strukturen zu erkennen, die am äußersten Rand der <math>\mathbb M</math> liegen. Diese sind erzeugt durch die Zwischenergebnisse der periodischen Iterationen von Satelliten-Mengen. Diese Orte werden im Film mit einem grünen Pfeil gezeigt. Einer dieser Orte soll im nächsten Orbit-Bild näher dokumentiert werden.
+Im Orbit-Bild wurden alle Iterationsergebnisse herausgefiltert, die nicht im Auswahlbereich bei Punkt&nbsp;1 enthalten sind. So ist erkennbar, dass diese Orbits von einem Satelliten der Periode 3 ausgehen (Punkt S). In den nächsten Bildern sind diese vier Orbit-Aufsummierungen gezoomt gezeigt. Dieses Beispiel gilt für alle Satelliten. Für die meisten Satelliten ist jedoch ein viel höheres Iterationslimit nötig (hier nur 100). Dadurch steigt der erzeugte Kontrast erheblich, womit solche Feinheiten immer schlechter zu zeigen sind.
-::::1: 0 0 200
+|-
-::::2: 0 20 150
+| Version bis 22. Mai 2021, 11:26 Uhr || Version ab 22. Mai 2021, 11:26 Uhr
-::::3: 0 40 100
+|}
-::::4: 0 80 50
+Die ältere Version enthält ein gutes Bild und erklärt kurz, aber verständlich, was es bedeutet. Die auffallend hellen Bereiche mit hoher Dichteverteilung werden besprochen und die Farben können leicht den Dichten zugeordnet werden.
-::::5: 0 120 0
-::::6: 130 190 0
-::::7: 250 250 0
-::::8: 250 200 0
-::::9: 250 120 0
-::::10: 250 0 0
-::::11: 180 0 0
-::::12: 100 0 0
+Die neuere Version ersetzt das eine gute Bild durch zwölf (!) weniger gute Bilder, wobei nicht einmal mehr die Farben den Dichten zugeordnet werden können. Sieben Bilder sind in einer Animation versteckt: Es ist eigentlich nur ein Bild, das mit verschiedenen Iterationszahlen siebenmal neu berechnet wird. In der Animation wird dies als ''Blende n'' bezeichnet, da eine Neuberechnung mit kleineren Iterationszahlen durch die Funktion <math>B_n(x) = \operatorname{min}(x, n)</math> technisch vermeidbar ist.
-::::Oder auch irgendwie umgekehrt. Ich bin allerdings etwas rot-grün-schwach, wie 10% aller Männer ;-). Von daher hätte ich auch nichts dagegen, die Zahlen wenigstens bis 9 überall reinzuschreiben, wo es geht. Bei der obigen Palette kann ich insbesondere die beiden Nachbarn von gelb kaum unterscheiden. So wie jetzt, d. h. ganz ohne Streifen im Außenraum finde ich es eigentlich am besten. Ach, und ein etwas ansprechenderer Font wie z. B. Arial oder Times Roman wäre auch nicht schlecht. --[[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 13:00, 30. Okt 2005 (CET)
+Das Vorschaubild der Animation mit Blende 5000 ist falsch, da es sich um eine Kopie des Bildes mit Blende 30000 handelt, die wahrscheinlich eingefügt wurde, um die Vorschau besser aussehen zu lassen.
-::::Habe die Palette doch noch auf 12 erweitert. So finde ich sie ziemlich gut. Ich würde übrigens die "1" vielleicht 30% gößer als die "2" machen und die "3" 20% kleiner. Dann ist der Übergang zu den noch kleineren Zahlen nicht so abrupt. --[[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 13:42, 30. Okt 2005 (CET)
+Natürlich kann man bei kleineren Iterationszahlen Details erkennen, die bei größeren Iterationszahlen immer mehr verschwimmen. Es ist aber nicht notwendig, diese durch Pfeile in einer Animation hervorzuheben und durch ein langes Beispiel, in dem ein konkreter Zwischenzyklus näher betrachtet wird, ausführlich zu erläutern. Das trägt meines Erachtens nicht wirklich zum Verständnis bei. Stattdessen sollte kurz erklärt werden, was auffällig ist, und nicht ausgiebig diskutiert werden, was nur ein Fachmann erkennen kann. Solche "Details für Experten" sollten in ein entsprechendes Wikibook ausgelagert werden.
-[[Bild:Mandelzyklenlaenge-2.png|thumb|250px|right|Die Ziffern und der Farbkode geben die Perioden der Grenzzyklen von Folgen zu c-Werten aus den zugehörigen Bereichen an.]]
-::::Habe mal eine entsprechende grobe Version hochgeladen. Müsste man noch mal richtig rechnen statt nur nachfärben. Habe auch oben und unten etwas beschnitten. Eine Endversion mit 4000x3000 wäre sicher nicht schlecht (knapp unter dem Limit für thumbs) und mit Ziffern überall dort, wo sie jetzt auch im Bild im Artikel sind (letzteres könnte auch ich gerne übernehmen). Ein englischer Titel passend für Mediawiki wäre auch nicht schlecht, z. B. ''Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png'' oder so ähnlich. --[[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 15:53, 30. Okt 2005 (CET)
-:::::Da die Unterscheidung zwischen 1 und 2 oder auch 2 und 3 sehr viel interessanter ist als zwischen 8 und 9 oder 18 und 19 würde ich das auch in der Palette berücksichtigen. Ansonsten ist es gerade wegen Deiner rot-grün Schwäche sinnvoll Dir die Wahl der Farben zu überlassen. Die Grafik soll ja nicht für 5% der Menschheit wertlos sein. [[Benutzer:AlterVista|AlterVista]] 16:40, 30. Okt 2005 (CET)
+Wer meint, man müsse alle Details erklären, sollte einen Blick auf [http://www.mrob.com/pub/muency.html Mu-Ency - The Encyclopedia of the Mandelbrot Set] werfen. Gerade zur Mandelbrot-Menge gibt es so viele Details, dass man dafür eine eigene Enzyklopädie braucht. --[[Benutzer:Majow|Majow]] ([[Benutzer Diskussion:Majow|Diskussion]]) 14:29, 3. Nov. 2024 (CET)
-::::::Naja, es sollte natürlich auch nicht unbedingt für 95% der Menschheit hochgradig komisch aussehen ;-). Das kann ich leider nicht beurteilen. Wenn wir einen größeren Unterschied zwischen 1 und 2 machen, dann steht uns ein entsprechend kleinerer Teil des Spektrums für den Rest zur Verfügung und damit eine kleinere Anzahl von deutlich unterscheidbaren Stufen. Wäre doch schade, ausgerechnet für die beiden Werte, die nur einmal vorkommen und sofort zu erkennen sind, einen größeren Spektralbereich zu verschenken. Daher hatte ich versucht, die empfundenen Farbabstände alle ungefähr gleich groß zu machen (das habe ich oft mit nichtlinearen RGB-Verläufen besser hinbekommen als mit linearen). Da die Periodizitätsdifferenz ja auch konstant ist, ist das eigentlich auch aus mathematischer Sicht ganz ok. Klar, wenn man sagt, 1/Periodizität ist die interessante Größe, dann sähe das anders aus. Aber es geht ja mehr um die Erkennbarkeit bei den kleineren Knospen und den Satelliten ohne das ganze Bild mit Zahlen zu überfluten. --[[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 17:11, 30. Okt 2005 (CET)
-:::::::<i>Naja, es sollte natürlich auch nicht unbedingt für 95% der Menschheit hochgradig komisch aussehen ;-)'</i> Da werden wir doch hoffentlich einen Kompromiss finden;) Ich habe noch folgende Anpassungen an der Farbpalette vorgenommen:
-::::::: * Die Kardioide etwas dunkler mit leichtem Violettstich. Das reine Blau war mir für diese große Fläche etwas zu grell. Dann hat der Kopf dieses reine Blau.
-::::::: * Die Blau-/Grüntöne etwas aufgehellt, weil ich die dunkleren Tone später noch verwende.
-::::::: * Zwischen  blau und grün noch eine cyan-artige Farbton sowie ein grüngelb zwischen grün und gelb eingefügt.
-::::::: * Nach rot wieder über violett/blau/grün, aber insgesamt dunkler als im ersten Durchgang, hin zu braun, was dann in schwarz  übergeht. Damit hat man über 20 vernünftige Kontraste aber trotzdem eine klare Reihenfolge.
-::::::: Die kleinen Werte können ruhig alle blau sein, da die Flächen groß sind und sie direkt aneinandergrenzen, kann man die Kontraste gut erkennen. Die Zahlen habe ich jetzt nur jeweis einmal drangeschrieben. Und zwar im "Tal der Seepferdchen". Dort kommen ja ebenfalls alle Zahlen vor (abwechselnd rechts und links), die Knospen werden aber nicht so schnell kleiner, wie in der "Pofalte". Man kann  das "Tal der Seepferdchen" sozusagen als Legende nehmen. Als Schriftart hab' ich Arial genommen. Serifnlos halte ich hier für besser.
+== Missverständnis bei Dichteverteilung und Buddhabrot ==
-::::::: Wie sieht's eigentlich mit dem Koordinatenkreuz aus, was in dem aktuellen Bild im Artikel drin ist? Ich halte es an dieser Stelle nicht für notwendig, fände es aber schon gut, wenn im Artikel ein Bild mit Koordinatenachsen auftaucht, damit klar wird, dass es sich um eine Teilmenge der komplexen Zahlen handelt. Am Anfang wäre sowas vielleicht angebracht. [[Benutzer:Hoehue|Hoehue]] 12:09, 31. Okt 2005 (CET)
+[[Datei:Anti-buddabrot.jpg|mini|Das wurde aus der Dichte&shy;verteilung herausgefiltert]]
-Wenn man sich auf 256 Farben beschränkt, dürfte die Datei nochmal deutlich kleiner werden. Hab gerade einen Test gemacht und es waren nur noch 192 KB. [[Benutzer:AlterVista|AlterVista]] 13:24, 31. Okt 2005 (CET)
+[[Datei:Buddhabrot.jpg|mini|Das ist von der Dichte&shy;verteilung übrig geblieben]]
-: Wie machst du  das? Ich komme trotz indizierten Farben und pngcrush nicht unter 533163 Byte. Ist es an sonsten so OK? [[Benutzer:Hoehue|Hoehue]] 14:27, 31. Okt 2005 (CET)
+In der Versionsgeschichte des Artikels bin ich auf ein Missverständnis gestoßen, und zwar auf die Annahme, die Buddhabrot sei nur ein Zufallsprozess. Das ist falsch, denn die Buddhabrot entsteht völlig deterministisch, es ist kein Zufallsprozess notwendig. Sie ist einfach eine Dichteverteilung, bei der man nur diejenigen Punkte betrachtet, für die die Mandelbrotfolge bestimmt divergiert. Alle Punkte, die nicht divergieren, filtert man zuvor heraus. Weil auf diese Weise viele Punkt aus dem Punktegitter verschwinden, muss man ein ein sehr dichtes Punktegitter verwenden, um ein gutes Bild mit der stark reduzierten Punktmenge zu erhalten. Jetzt kommt eine Idee, die man so auch bei [[Path Tracing]] anwendet: Anstatt das Punktegitter im Voraus festzulegen, lässt man sehr viele zufällige Punkte nacheinander berechnen. Auf diese Weise wird das Bild mit der Zeit immer schärfer und nähert sich immer mehr an die (deterministische) Dichteverteilung mit einem unendlich dichten Punktegitter an. Im Prinzip wird durch einen geeigneten stochastischen Prozess das Punktegitter mit der Zeit immer dichter und das Bild der Dichteverteilung immer genauer. Man kann den Prozess dann abbrechen, wenn das Bild der Dichteverteilung gut genug ist.
+Wenn man den stochastischen Prozess nicht möchte, kann man auch mit einem groben Punktegitter beginnen und es schrittweise immer weiter verfeinern. Da dadurch die zu berechnende Punktemenge mindestens quadratisch anwächst, dauert die Berechnung jeder weiteren Verfeinerung immer länger. Verdoppelt man einfach die Punktedichte bei jeder Verfeinerung, so handelt es sich sogar um exponentielles Wachstum. An dieser Stelle muss man sich dann überlegen, wie man diesen Prozess so gestalten kann, dass er jederzeit abgebrochen werden kann, ohne das Bild dabei wesentlich zu verfälschen. Dann ist es viel einfacher, entweder im Voraus ein ausreichend dichtes Punktegitter zu wählen, oder noch einfacher, gar kein Punktegitter festzulegen und einen geeigneten stochastischen Prozess zu wählen, den man jederzeit abbrechen kann. --[[Benutzer:Majow|Majow]] ([[Benutzer Diskussion:Majow|Diskussion]]) 18:49, 22. Okt. 2024 (CEST)