∞-Gruppoid

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus 1-Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.^[1] Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden. Eine einflussreiche Arbeit dazu ist Pursuing Stacks (deutsch Verfolgung von Stacks, Stacks ist dabei eine andere Bezeichnung für ∞-Gruppoide) von Alexander Grothendieck aus dem Jahr 1983, dessen Ziel eine einfache Modellierung von ∞-Gruppoiden und deren Anwendung in der Homotopietheorie war. Werden ∞-Kategorien durch simpliziale Mengen modelliert, dann sind ∞-Gruppoide genau Kan-Komplexe.^[2] Es gibt jedoch auch andere Modellierungen, etwa durch simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien, Segal-Räume oder Segal-Kategorien, in denen ∞-Gruppoide anders beschrieben werden.

Definition

In diesem Artikel werden ∞-Kategorie durch simpliziale Mengen modelliert. Sei $X$ eine ∞-Kategorie. Seien $x, y \in X_{0}$ jeweils $0$ -Simplizes oder $0$ -Morphismen sowie $f \in X_{1}$ ein $1$ -Simplex oder $1$ -Morphismus mit $\partial_{0} f = x$ und $\partial_{1} f = y$ , alternativ notiert als $f : x \to y$ . (Nach dem Lemma von Yoneda sind $x, y : Δ^{0} \to X$ und $f : Δ^{1} \to X$ auch alternativ Morphismen zwischen simplizialen Mengen.) $f$ ist linksinvertierbar, wenn ein $1$ -Morphismus $g : y \to x$ existiert, sodass ${id}_{x}$ eine Komposition von $f$ vor $g$ ist. $g$ ist dann ein Linksinverses. $f$ ist rechtsinvertierbar, wenn ein $1$ -Morphismus $h : y \to x$ existiert, sodass ${id}_{y}$ eine Komposition von $h$ vor $f$ ist. $h$ ist dann ein Rechtsinverses. $f$ ist invertierbar oder ein Isomorphismus, wenn beides zugleich der Fall ist. Wichtig ist dabei, dass Kompositionen in ∞-Kategorien nicht eindeutig sein müssen. Kompositionen sind über kommutative Dreiecke definiert,^[3] also wenn ein Morphismus $\partial Δ^{1} \to X$ eine Füllung $Δ^{1} \to X$ hat. $(f, g, {id}_{x})$ und $(h, f, {id}_{x})$ müssen also solche Füllungen haben. Nerven von Kategorien haben etwa eindeutige Füllungen von Dreiecken und daher eindeutige Kompositionen.^[4] Ein ∞-Gruppoid ist nun eine ∞-Kategorie, in welcher jeder $1$ -Morphismus invertierbar ist.^[1] In der Klassifikation von $(\infty, n)$ -Kategorien, in welchen alle $k$ -Morphismen für $k > n$ invertierbar sind, sind ∞-Kategorie dann genau die $(\infty, 1)$ -Kategorien und ∞-Gruppoide sind genau die $(\infty, 0)$ -Kategorien.

Eigenschaften

Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid.^[5] Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f : x \to y$ ein $1$ -Simplex zwischen $0$ -Simplizes $x, y : Δ^{0} \to X$ . Für den Morphismus $Λ_{0}^{2} \to X$ mit $(0 \to 1) \mapsto f$ und $(0 \to 2) \mapsto {id}_{x}$ existiert eine Auffüllung $Δ^{2} \to X$ , wobei das Bild von $1 \to 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $Λ_{2}^{2} \to X$ mit $(1 \to 2) \mapsto f$ und $(0 \to 2) \mapsto {id}_{y}$ existiert eine Auffüllung $Δ^{2} \to X$ , wobei das Bild von $0 \to 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.
Eine ∞-Kategorie $X$ ist genau dann ein ∞-Gruppoid, wenn ihre Homotopiekategorie $Ho (X)$ ein Gruppoid ist.^[6]
Die singuläre simpliziale Menge $Sing (X)$ eines topologischen Raumes $X$ ist ein Gruppoid.^[7]

Literatur

Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. Band 170). Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, doi:10.48550/arXiv.math/0608040, arxiv:math/0608040v1 (englisch, ias.edu [PDF]).
Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 180). Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0, doi:10.1017/9781108588737 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]).

Weblinks

infinity-groupoid auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1 2 Cisinski 19, Definition 1.5.1
↑ Cisinski 19, Proposition 1.5.4 & Theorem 3.5.1
↑ Cisinski 19, Definition 1.4.7
↑ Cisinski 19, Gleichung (1.4.8.1)
↑ Cisinski 19, Proposition 1.5.4.
↑ Cisinski 19, Corollary 1.6.7
↑ Cisinski 19, Example 1.6.9

[:3-1] 1 2 Cisinski 19, Definition 1.5.1

[2] Cisinski 19, Proposition 1.5.4 & Theorem 3.5.1

[3] Cisinski 19, Definition 1.4.7

[4] Cisinski 19, Gleichung (1.4.8.1)

[5] Cisinski 19, Proposition 1.5.4.

[6] Cisinski 19, Corollary 1.6.7

[7] Cisinski 19, Example 1.6.9

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