Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl $N$ der zu einem Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe mit einem einzigen Radionuklid an. Diese Anzahl beträgt

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}

,

wobei $N_{0}$ die Anzahl der am Anfang ( $t = 0$ ) vorhandenen Atomkerne und $λ$ die Zerfallskonstante des betreffenden Radionuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich $N_{0}$ Atomkernen und der Aktivität $A$ , so gilt für die Anzahl $N$ der in der Zeit $t$ noch nicht zerfallenen Kerne:

\begin{matrix} A & = - \frac{d N}{d t} mit A = λ \cdot N \\ - λ \cdot N & = \frac{d N}{d t} \\ - λ \cdot d t & = \frac{1}{N} \cdot d N \\ \int_{0}^{t} - λ \cdot d t^{'} & = \int_{N_{0}}^{N} \frac{1}{N^{'}} \cdot d N^{'} \\ - λ t - (- λ \cdot 0) & = \ln (N) - \ln (N_{0}) \\ - λ t & = \ln (\frac{N}{N_{0}}) \\ e^{- λ t} & = \frac{N}{N_{0}} \\ N (t) & = N_{0} \cdot e^{- λ t} \end{matrix}

Nach der Zeit $t$ sind also von $N_{0}$ Ausgangskernen noch $N (t)$ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante $λ$ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer $τ = 1 / λ$ , also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor $e = 2,71828 \dots$ verringert hat. $τ$ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ nur um den konstanten Faktor $\ln 2$ :

T_{1 / 2} = τ \cdot \ln 2 = \frac{\ln 2}{λ} \approx 0,693 \cdot τ

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

N (t) = N_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{1 / 2}} t}

Mit

e^{- \ln (2)} = \frac{1}{2}

ergibt sich eine Form des Zerfallsgesetzes, die die Halbierung der Stoffmenge nach Ablauf je einer Halbwertszeit besonders anschaulich macht:

N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T_{1 / 2}}}

Weblinks

Java-Animation des Zerfallsgesetzes