Weylsches fraktionales Integral

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In der Mathematik ist das Weylsche fraktionale Integral auch Weyl-Integral (benannt nach Hermann Weyl) ein Operator, der im Rahmen der fraktionalen Infinitesimalrechnung definiert und ein Spezialfall des Riemann-Liouville-Integrals ist.

Weylsches fraktionales Integral

Das Riemann-Liouville-Integral ist definiert als

$I_{\alpha }^{a}f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\,dt,\quad \alpha >0$

mit

$I_{\alpha }f(x):=\lim \limits _{a\to -\infty }I_{\alpha }^{a}f(x)$

Das Weylsche fraktionale Integral ist die auf periodische Funktionen übertragene (bzw. Fourier-analytische) Variante dieses Operators für hinreichend reguläre Funktionen.

Definition

Das Weylsche fraktionale Integral wirkt auf Funktionen $f$ auf dem Einheitskreis, deren Integral Null ist und die eine Fourierreihe besitzen. Mit anderen Worten: Die Funktion $f$ besitzt eine Fourierreihe der Form:

$f(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta }$

wobei $a_{0}=0$ ist. Dann ist der Weyl-Integral-Operator $s$-ter Ordnung definiert als

$I_{\alpha }f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}a_{n}e^{in\theta }$.

Hier kann $s$ jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Für ganzzahlige Werte von $s$ entspricht die Fourierreihe der erwarteten $s$-ten Ableitung, für $s>0$, beziehungsweise der erwarteten ($-s$)-ten Stammfunktion, normiert durch Integration ab $\theta =0$.

Die Bedingung $a_{0}=0$ sorgt hier dafür, im Falle negativer $s$ eine Division durch Null auszuschließen. Diese Definition stammt von Hermann Weyl.

Belege

• P. I. Lizorkin (2001) [1994], Fractional integration and differentiation. Encyclopedia of Mathematics, EMS Press (englisch)