Torsionstensor

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.^[1]

Definition

Sei $(M, \nabla)$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang $\nabla$ . Der Torsionstensor $T$ ist ein Tensorfeld, das durch

T (X, Y) = \nabla_{X} Y - \nabla_{Y} X - [X, Y]

definiert ist. Dabei sind $X, Y \in Γ (T M)$ zwei Vektorfelder und $[\cdot, \cdot]$ stellt die Lie-Klammer dar.^[2]

Lokale Darstellung

Sei $e_{1}, \dots, e_{n}$ ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels $T M$ . Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man $X := e_{i}$ , $Y := e_{j}$ und $γ_{i j}^{k} e_{k} := [e_{i}, e_{j}]$ , dann gilt für die Komponenten $T_{i j}^{k}$ des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

T^{k}_{i j} = Γ^{k}_{i j} - Γ^{k}_{j i} - γ^{k}_{i j}, i, j, k = 1, 2, \dots, n .

Dabei bezeichnen die Symbole $Γ_{i j}^{k}$ die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

T^{k}_{i j} = Γ^{k}_{i j} - Γ^{k}_{j i}, i, j, k = 1, 2, \dots, n .

Eigenschaften

Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere $C^{\infty}$ -linear in seinen drei Argumenten.
Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt $T (X, Y) = - T (Y, X)$ .

Symmetrischer Zusammenhang

Ein affiner Zusammenhang $\nabla$ heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

T (X, Y) = 0

oder äquivalent

\nabla_{X} Y - \nabla_{Y} X = [X, Y]

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang $\nabla$ und $c :] - ϵ, ϵ [\times] a, b [\to M$ eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}} \frac{\partial}{\partial t} c (s, t) = \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \frac{\partial}{\partial s} c (s, t) .

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach $s$ mit der nach $t$ vertauscht werden.^[3]

Literatur

Torsion tensor. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Einzelnachweise

↑ Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).
↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.
↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.

[1] Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).

[2] John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.

[3] John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.

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