Thoma-Simplex

Ein Thoma-Simplex ist in der Mathematik ein unendlich-dimensionales Simplex, das man in der Darstellungstheorie unendlicher Gruppen benötigt. Das Simplex ist ein geschlossener Unterraum des abzählbar unendlichen Produktraumes

[0, 1]^{\infty} \times [0, 1]^{\infty}

und besteht aus Paaren von unendlichen reellen Folgen.

Das Thoma-Simplex ist nach Elmar Thoma benannt, der 1964 die abzählbar unendliche symmetrische Gruppe

S_{\infty} = ⋃_{n} S_{n}

untersuchte und eine Klassifikation aller Charaktere $χ_{p}$ durch Elemente des Thoma-Simplex fand.^[1]^[2]

Ein Thoma-Simplex ist die Menge der Paare $(α, β)$ bestehend aus reellen Folgen $α := (α_{i}), β := (β_{i})$ , so dass^[3]^[4]

(α_{1} \geq α_{2} \geq α_{3} \geq \dots \geq 0), (β_{1} \geq β_{2} \geq β_{3} \geq \dots \geq 0), \sum_{i = 1}^{\infty} (α_{i} + β_{i}) \leq 1

gilt. Weiter definiert man $γ := 1 - \sum_{i = 1}^{\infty} (α_{i} + β_{i})$ .

Einzelnachweise

↑ Elmar Thoma: Die unzerlegbaren, positiv-definiten Klassenfunktionen der abzählbar unendlichen, symmetrischen Gruppe. In: Mathematische Zeitschrift. Band 85, 1964, S. 40–61 (eudml.org).
↑ Andrei Okounkov: On the representations of the infinite symmetric group. Hrsg.: arXiv. 1998, doi:10.48550/ARXIV.MATH/9803037, arxiv:math/9803037 (PhD-Thesis).
↑ Sergei Kerov, Grigori Olshanski und Anatoly Vershik: Harmonic analysis on the infinite symmetric group. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Inventiones mathematicae. Band 158, Nr. 3, 2004, S. 551--642, arxiv:math/0312270.
↑ G. I. Olshanski: The Topological Support of the z-Measures on the Thoma Simplex. Hrsg.: arXiv. 2018, doi:10.48550/ARXIV.1809.07125, arxiv:1809.07125 [abs].