String-Gruppe

Eine String-Gruppe ist in den mathematischen Teilgebieten der Algebraischen Topologie und Differentialtopologie eine topologische Gruppe, welche im Whitehead-Turm einer orthogonalen Gruppe auftaucht, also aus dieser durch Entfernung von Homotopiegruppen von unten entsteht. Die String-Gruppe ist darin die 3-zusammenhängende Überlagerung der einfach zusammenhängenden Spin-Gruppe und wird selbst von der 7-zusammenhängenden Fivebrane-Gruppe überlagert:

$\ldots \rightarrow \operatorname {Ninebrane} (n)\rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n).$

Üblicherweise wird die String-Gruppe erst ab $n\geq 5$ betrachtet, da sich dann die entfernte Homotopiegruppe im Muster der Bott-Periodizität stabilisiert. String-Gruppen sind unendlichdimensional und daher insbesondere keine Lie-Gruppen, haben aber durch Kombination mit Höherer Kategorientheorie die Struktur von 2-Gruppen. Ihre Benennung stammt von der Verwendung in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, insbesondere bei der Beschreibung von Strings.

Definition

Im Whitehead-Turm eines topologischen Raumes $X$ wird die $n$-fache Überlagerung auch als $X\langle n+1\rangle$ bezeichnet. Mit dieser Notation sei:

$\operatorname {String} (n):=\operatorname {O} (n)\langle 4\rangle$

$\operatorname {String} :=\operatorname {O} \langle 4\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)$

Da der klassifizierende Raum sämtliche Homotopiegruppen eins hinauf verschiebt ist hier insbesondere:

$\operatorname {BString} (n)=\operatorname {BO} (n)\langle 5\rangle$

$\operatorname {BString} =(\operatorname {BO} )\langle 5\rangle$

Da $\pi _{4}\operatorname {O} \cong \pi _{5}\operatorname {O} \cong \pi _{6}\operatorname {O} \cong 1$ ist sogar:

$\operatorname {String} =\operatorname {O} \langle 5\rangle =\operatorname {O} \langle 6\rangle =\operatorname {O} \langle 7\rangle ;$

$\operatorname {BString} =(\operatorname {BO} )\langle 6\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 7\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 8\rangle .$

Ganz allgemein sind in Whitehead-Türmen sämtliche Abbildungen jeweils Faserbündel mit Eilenberg-MacLane-Räumen als Fasern, nämlich genau für die entfernte Homotopiegruppe in genau einem Grad weniger. Im Fall der String-Gruppe und der nächstniedrigeren Gruppe im Whitehead-Turm, nämlich der Spin-Gruppe, ergeben sich zusätzlich mit Anwendung des klassifizierenden Raumes, welche den Grad des Eilenberg-MacLane-Raumes einen Grad hinauf schiebt, sowie der Komplexifizierung im stabilen Fall die Faserbündel:

$K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} \rightarrow \operatorname {Spin} ;$

$K(\mathbb {Z} ,3)\rightarrow \operatorname {BString} \rightarrow \operatorname {BSpin} ;$

$K(\mathbb {Z} ,3)\rightarrow (\operatorname {BU} )\langle 6\rangle \rightarrow \operatorname {BSU} =(\operatorname {BU} )\langle 4\rangle .$

In der ersten Sequenz kann insbesondere der unendlich komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{\infty }$ als Modell für den Eilenberg-MacLane-Raum $K(\mathbb {Z} ,2)$ eingesetzt werden. Da dieser unendlichdimensional ist, ist es folglich auch die String-Gruppe.

Literatur

• Hisham Sati, Urs Schreiber und Jim Stasheff: Fivebrane Structures. In: Reviews in Mathematical Physics. Band 21, 5. Mai 2008, S. 1197–1240, doi:10.1142/S0129055X09003840, arxiv:0805.0564 (englisch). 
• Hisham Sati und Matthew Wheeler: Variations of rational higher tangential structures. In: Journal of Geometry and Physics. Band 130, 21. Dezember 2016, S. 229–248, doi:10.1016/j.geomphys.2018.04.001, arxiv:1612.06983 (englisch). 

Weblinks

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)