Stokes-Automorphismus

Der Stokes-Automorphismus ist ein Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und der asymptotischen Analysis. Der Automorphismus stellt einen Zusammenhang zwischen zwei gerichteten Borel-Resummierungen bzw. Borel-Laplace-Transformationen dar, welche durch eine Stokes-Linie getrennt werden.

Bei asymptotischen Entwicklungen von komplex-wertigen Funktionen spielt das Argument eine zentrale Rolle und so können unterschiedliche asymptotische Entwicklungen für dieselbe Funktion auftreten. Das klassische Beispiel ist die Airy-Funktion. Die verschiedenen Regionen werden durch die Stokes- und Anti-Stokes-Linien getrennt. Bildet man nun Resummierungen, das heißt Borel-Summierungen mit Laplace-Transformationen, können diese durch Stokes-Linien getrennt sein.

Der Stokes-Automorphismus ist nach Sir George Gabriel Stokes benannt.

Stokes-Automorphismus

Mit ${\tilde{Res}}^{s i m p}$ bezeichnen wir den Raum der simplen $Ω$ -resurgenten Reihen d. h. Potenzreihen, deren formale Borel-Transformation simple $Ω$ -resurgente Funktionen sind. Die nachfolgende Definition wird für Elemente aus ${\tilde{Res}}^{s i m p}$ definiert, kann aber auf den Raum der resurgenten Funktionen $ℂ δ \oplus \tilde{ℋ} (ℛ)$ erweitert werden.

Sei $\tilde{ϕ} (z) \in {\tilde{Res}}^{s i m p}$ , dann ist die laterale Borel-Summierung entlang $θ$ definiert durch

𝒮_{θ^{+}} \tilde{ϕ} (z) = c + \int_{0}^{e^{i θ} (\infty + i ε)} d ζ e^{- z θ} \hat{ϕ} (ζ)

𝒮_{θ^{-}} \tilde{ϕ} (z) = c + \int_{0}^{e^{i θ} (\infty - i ε)} d ζ e^{- z θ} \hat{ϕ} (ζ)

wobei $c \in ℂ$ und $\hat{ϕ} (ζ)$ die Borel-Transformation von $\tilde{ϕ}$ bezeichnet.

Sei $𝒮_{θ^{\pm}}$ die laterale Borel-Summierung, dann ist der Stokes-Automorphismus $𝔖_{θ} : {\tilde{Res}}^{s i m p} \to {\tilde{Res}}^{s i m p}$ definiert als $𝒮_{θ^{+}} = 𝒮_{θ^{-}} \circ 𝔖_{θ}$ .^[1]

Literatur

Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).

Einzelnachweis

↑ Daniele Dorigoni: An introduction to resurgence, trans-series and alien calculus. In: Elsevier BV (Hrsg.): Annals of Physics, vol 409. 2019, doi:10.1016/j.aop.2019.167914, arxiv:1411.3585.

[1] Daniele Dorigoni: An introduction to resurgence, trans-series and alien calculus. In: Elsevier BV (Hrsg.): Annals of Physics, vol 409. 2019, doi:10.1016/j.aop.2019.167914, arxiv:1411.3585.

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