Spurpunkt

Spurpunkt ist ein Begriff der analytischen und der darstellenden Geometrie. Er bezeichnet die Schnittpunkte von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ mit den Koordinatenebenen bzw. -achsen.

Spurpunkte einer Geraden

Die Gerade $g{:}\;{\overline {x}}=(3|2|-4)+t(4|3|-2)$ generiert drei Spurpunkte: $S_{xy}(-5|-4|0)$, $S_{yz}(0|-0.25|-2.5)$ und $S_{xz}(0.{\overline {3}}|0|-2{\overline {6}})$

Als Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ werden die Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenebenen bezeichnet. Der Punkt, an dem die Gerade die x-y-Grundebene mit der Gleichung $z=0$ durchdringt, wird häufig mit $S_{xy}$ bezeichnet, analog sind die Spurpunkte $S_{xz}$ und $S_{yz}$ definiert. Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunkt mit einer Koordinatenebene ist, dass die Gerade nicht parallel zu dieser Ebene verläuft. Folglich kann eine Gerade Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenebene haben, je nachdem ob sie parallel zu keiner, zwei oder einer Koordinatenebene verläuft.

Berechnung

Ist die Gerade in Parameterform gegeben, $g\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {u}}$, so lassen sich die Koordinaten der Spurpunkte schnell ausrechnen: Bei jedem Spurpunkt ist eine Komponente null, was auf eine lineare Gleichung mit dem Parameter $s$ als Unbekannte führt. Durch Auflösen und Einsetzen in die Geradengleichung erhält man dann den entsprechenden Spurpunkt.

Ist die Gerade beispielsweise gegeben durch

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}$

und der Spurpunkt $S_{xy}$ gesucht, so setzt man zunächst die $z$-Komponente null. Dies führt auf die Gleichung $0=-4-2t$, welche die Lösung $t=-2$ hat. Einsetzen von $t=-2$ in die Parametergleichung liefert dann den Ortsvektor bzw. die Koordinaten von $S_{xy}$ als $(-5\mid -4\mid 0)$.

Spurpunkte einer Ebene

Die Ebene $6x+4y-3z=12$ generiert drei Spurpunkte: $S_{x}(2|0|0)$, $S_{y}(0|3|0)$ und $S_{z}(0|0|-4)$

Die Spurpunkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Sie werden häufig mit $S_{x},S_{y},S_{z}$ bezeichnet, wobei der Index jeweils die durchschnittene Koordinatenachse angibt. Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunktes mit einer der Koordinatenachsen ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verläuft. Folglich kann eine Ebene Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenachse haben, je nachdem ob sie parallel zu keiner, einer oder zwei der Koordinatenachsen liegt.

Berechnung

Die Berechnung erfolgt am einfachsten, wenn die Ebene als Koordinatengleichung vorliegt, etwa in der Achsenabschnittsform oder der allgemeinen Koordinatenform. Bei jedem Spurpunkt sind zwei Koordinaten null. Die dritte Koordinate erhält man, indem man in der Koordinatengleichung diese beiden Koordinaten null setzt und auflöst.

Ist die Ebene beispielsweise durch die allgemeine Koordinatenform $6x+4y-3z=12$ gegeben, so erhält man die $x$-Komponente durch Nullsetzen der $y$- und $z$-Komponente als $x=2$. Der Spurpunkt hat somit die Koordinaten $S_{x}=P(2\mid 0\mid 0)$. Entsprechend können die beiden weiteren Spurpunkte bestimmt werden.

Siehe auch

• Spurgerade
• Spurdreieck

Weblinks

Wikibooks: Darstellung von Spurpunkten mit Beispielen – Lern- und Lehrmaterialien