Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

Definition

Es sei $S=\Gamma \backslash H^{2}$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte $\gamma \subset S$ bezeichne $l(\gamma )$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion ${\mathcal {Z}}_{\Gamma }\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für $\operatorname {Re} (s)\gg 0$ durch

{\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\prod _{\gamma }\prod _{k=0}^{\infty }(1-e^{-l(\gamma )(s+k)})

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen $s_{j}$ , die die Gleichung

s_{j}(1-s_{j})=\lambda _{j}

für einen der Eigenwerte

0=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots

des Laplace-Operators auf $S$ erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

Für $\Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )$ hat man die Identität

{\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\det(1-{\mathcal {L}}_{s}^{2})

.

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}_{s}\colon V\to V$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum $V$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt $1$ und Radius ${\tfrac {3}{2}}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

{\mathcal {L}}_{s}\phi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2s}}}\,\phi \left({\frac {1}{z+n}}\right)

.

Literatur

U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. (= Mathematical Research. Vol. 83). Akademie-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-05-501690-4.
E. d'Hoker, D. H. Phong: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. In: Nucl. Phys. B 269, 1986, S. 205–234.
E. d'Hoker, D. H. Phong: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. In: Commun. Math. Phys. Band 104, 1986, S. 537–545.
D. Fried: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. In: Invent. Math. Band 84, 1986, S. 523–540.
A. Selberg: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. In: J. Indian Math. Soc. Band 20, 1956, S. 47–87.
A. Voros: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. In: Commun. Math. Phys. Band 110, 1987, S. 439–465.

Weblinks