Satz von Belyj

Der Satz von Belyj ist ein Lehrsatz der algebraischen Geometrie über algebraische Kurven. Er liefert eine Charakterisierung derjenigen kompakten Riemannschen Flächen, die als Riemannsche Flächen glatter (das heißt ohne Singularitäten), projektiver Kurven über Zahlkörpern realisierbar sind. Konkret besagt er, dass jede glatte komplexe algebraische Kurve, die über einem Zahlkörper definiert ist, durch eine sogenannte Belyj-Abbildung auf die Riemannsche Zahlenkugel dargestellt werden kann, die nur Verzweigungspunkte an drei speziellen Stellen hat, üblicherweise sind dies $\{0,1,\infty \}$. Die Aussage macht eine fundamentale Verbindung zwischen der algebraischen Geometrie und der Theorie der Riemannschen Flächen. Der Satz zeigt, dass allgemeine Modulkurven in gewissem Sinne nahezu beliebige algebraische Kurven über Zahlkörpern sein können.

Der Satz wurde von dem sowjetisch-russisch-ukrainischen Mathematiker Gennadi Wladimirowitsch Belyj bewiesen.

Satz von Belyj

Sei $X$ eine nichtsinguläre projektive Kurve über $\mathbb {C}$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

1. $X$ ist über ${\overline {\mathbb {Q} }}$ definierbar, das bedeutet, $X$ kann durch Erweiterung der Skalare aus einer algebraischen Kurve $Y$ über einem Zahlkörper $K$ entstehen

$X=Y\times _{K}\mathbb {C} .$

2. Es existiert eine Untergruppe $\Gamma \subset \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ von endlichem Index, so dass $X$ isomorph zur Quotientengruppe $\mathbb {H} /\Gamma$ der oberen Poincaré-Halbebene $\mathbb {H}$ mit $\Gamma$ ist, kompaktifiziert durch Hinzufügen der Spitzen

$X\cong \mathbb {H} /\Gamma \cup \{{\text{Spitzen}}\}.$

3. Es gibt eine endliche Überlagerung $\pi _{\Gamma }\colon X\to P^{1}(\mathbb {C} )$, die außerhalb der kritischen Werte $\{0,1,\infty \}$ unverzweigt ist. $\pi _{\Gamma }$ nennt man Belyj-Abbildung.

Dabei bezeichnet

• ${\overline {\mathbb {Q} }}$ den algebraischen Abschluss von $\mathbb {Q}$,
• $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ die spezielle lineare Gruppe von $2\times 2$-Matrizen über den ganzen Zahlen,
• $P^{1}(\mathbb {C} )$ die projektive Gerade über den komplexen Zahlen.

Erläuterungen

• Der Satz sagt, dass wenn eine Kurve $X$ über $\mathbb {C}$ eine Belyj-Abbildung besitzt, dann kann diese Kurve über einem algebraischen Zahlenkörper definiert werden. In anderen Worten kann $X$ als Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen mit Koeffizienten in $K$ realisiert werden, wenn eine Belyj-Abbildung existiert.
• Da $\Gamma \subset \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ existiert eine Überlagerung $\mathbb {H} /\Gamma \to \mathbb {H} /\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=P^{1}-\{\infty \}$, welche unverzweigt außerhalb der Menge $\{0,1728,\infty \}$ ist (den j-Invarianten elliptischer Kurven). Ein Resultat aus der algebraischen Geometrie sagt nun, liegen die kritischen Werte eines endlichen Morphismus $t\colon X\to P^{1}(\mathbb {C} )$ vollständig in $\{0,1728,\infty \}$, dann ist das Modulfeld von $t$ ein Zahlkörper. Durch eine geeignete Möbiustransformation erhält man $\{0,1,\infty \}$.