Q-Differenz

Die q-Differenz ist das q-Analogon der Ableitung. Der Begriff taucht in der Kombinatorik, der Theorie der orthogonalen Polynome und dem Quanten-Kalkül auf.

q-Differenz-Operator

Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als^[1]

(D_{q} f) (x) = \frac{f (x) - f (q x)}{(1 - q) x}

.

Es gilt somit

lim_{q \to 1^{-}} (D_{q} f) (x) = f^{'} (x)

und

D_{q} x^{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} x^{n - 1} = [n]_{q} x^{n - 1}

wobei $[n]_{q}$ das q-Analogon von $n$ ist.

Das q-Integral ist definiert als

\int_{0}^{a} f (x) d_{q} x := \sum_{n = 0}^{\infty} [a q^{n} - a q^{n + 1}] f (a q^{n})

\int_{a}^{b} f (x) d_{q} x := \int_{0}^{b} f (x) d_{q} x - \int_{0}^{a} f (x) d_{q} x .

↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.