Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

{f, g} := \sum_{k = 1}^{s} (\frac{\partial f}{\partial q_{k}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}} - \frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}})

mit

$f$ und $g$ Funktionen der generalisierten Koordinaten $q_{k}$ und der kanonisch konjugierten Impulse $p_{k}$
$s$ Anzahl der Freiheitsgrade.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen $F$ und $G$ definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

{F, G}_{a b} := \sum_{k = 1}^{s} (\frac{\partial F}{\partial a_{k}} \frac{\partial G}{\partial b_{k}} - \frac{\partial F}{\partial b_{k}} \frac{\partial G}{\partial a_{k}})

.

Man sagt $F$ und $G$ Poisson-kommutieren, wenn die Poisson-Klammer verschwindet ( ${F, G} = 0$ ). $F$ und $G$ stehen dann auch in Involution, weil die Größen, die durch diese Funktionen beschrieben werden, unabhängig voneinander sind und sich in ihrer Entwicklung nicht gegenseitig beeinflussen. Eine Funktion $F$ , die mit der Hamilton-Funktion $H$ Poisson-kommutiert, ist eine Erhaltungsgröße.

Eigenschaften

Bilinearität

{c_{1} f_{1} + c_{2} f_{2}, g} = c_{1} {f_{1}, g} + c_{2} {f_{2}, g}

Antisymmetrie

{f, g} = - {g, f}

, insbesondere

{f, f} = 0

Produktregel

{f, g h} = {f, g} h + g {f, h}

Jacobi-Identität

{f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 0

Invarianz unter kanonischen Transformationen

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien

(𝐪, 𝐩)

und

(𝐐, 𝐏)

zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:

{f, g}_{𝐪 𝐩} = {f, g}_{𝐐 𝐏} = {f, g}

.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

{q_{k}, q_{l}} = 0

{p_{k}, p_{l}} = 0

{q_{k}, p_{l}} = δ_{k l}

(Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

\begin{matrix} \frac{\partial q_{k}}{\partial q_{l}} = δ_{k l} & \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{l}} = 0 \\ \frac{\partial q_{k}}{\partial p_{l}} = 0 & \frac{\partial p_{k}}{\partial p_{l}} = δ_{k l} \end{matrix}

Anwendung

Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen $f (q_{k}, p_{k}, t)$ eines Hamiltonschen Systems $H (q_{k}, p_{k})$ ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):

\frac{d f}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}

.

Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

\dot{ρ} = {H, ρ} .

In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch $(- \frac{i}{ℏ})$ multipliziert mit dem Kommutator:^[1]

{H, f} \to - \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{f}]

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator

\hat{H}

im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch $ω = \sum_{i j} ω_{i j} d x^{i} \land d x^{j}$ , die Poisson-Klammer der Funktionen $f$ und $g$ durch:

{f, g} = \sum_{i j} ω^{i j} \partial_{i} f \partial_{j} g .

Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: Es sei $J : T^{*} M \to T M$ der durch $J^{- 1} (v) (w) = ω (v, w)$ beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion $f$ das Vektorfeld $X_{f}$ definiert als $J (d f)$ . Damit gilt dann

{f, g} = ω (X_{f}, X_{g}) .

Weblinks

Eric W. Weisstein: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081

[1] Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081

[1]

Mannigfaltigkeiten	Symplektische Mannigfaltigkeit \| Lagrangesche Untermannigfaltigkeit \| Poisson-Klammer
Abbildungen	Symplektische Abbildung \| Symplektomorphismus \| Hamiltonscher Symplektomorphismus \| Impulsabbildung
Vektorfelder	Symplektisches Vektorfeld \| Hamiltonsches Vektorfeld