Petrie-Polygon

Ein Petrie-Polygon ist ein räumliches (nichtplanares) Polygon in einem regulären Polyeder (platonischem Körper oder Kepler-Poinsot-Körper), einem regulären Polytop oder einer regulären Parkettierung des zwei- oder mehrdimensionalen Raums. Es wurde von Harold Scott MacDonald Coxeter nach dessen Entdecker John Flinders Petrie benannt.^[1.1]^[2.1] Eine wesentliche Anwendung des Petrie-Polygons ist, dass die Mittelpunkte seiner Kanten eine Ebene definieren, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des entsprechenden Polyeders oder Polytops ergibt.

Petrie-Polygone der regulären Polyeder

Ein Petrie-Polygon ist für ein reguläres Polyeder dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören. Es stellt ein geschlossenes Polygon dar, das um das Polyeder herumläuft. Seine Ecken liegen abwechselnd in zwei Ebenen. Das Petrie-Polygon ist daher ein räumliches Polygon.^[1.2]^[3.1]

Obwohl ein Petrie-Polygon nichtplanar ist, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene.^[1.2]^[3.1] Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet. Eine Orthogonalprojektion eines regulären Polyeders in seine Coxeter-Ebene zeichnet sich durch eine besonders hohe Symmetrie aus. Wenn ein platonischer Körper in die Coxeter-Ebene projiziert wird, bildet die Projektion des Petrie-Polygons ein regelmäßiges Polygon, das den Rest des projizierten platonischen Körpers umschließt. Die Projektion des Petrie-Polygons eines Kepler-Poinsot-Körpers in die Coxeter-Ebene ist auch ein regelmäßiges Polygon, das aber überschlagen sein kann. Es umschließt im Allgemeinen die Projektion des Kepler-Poinsot-Körpers nicht.

Die folgende Tabelle zeigt die regulären Polyeder einzeln und zusammen mit ihren Petrie-Polygonen. Die Ecken der Polyeder werden als Kugeln dargestellt und ihre Kanten als Zylinder. Diese Art der Darstellung erlaubt es insbesondere bei den Kepler-Poinsot-Körpern, die tatsächlichen Ecken des Polyeders von scheinbaren Ecken, die durch Kreuzungen von Kanten auftreten, zu unterscheiden. Letztere werden nicht durch Kugeln dargestellt.

In den Einzelabbildungen der regulären Polyeder werden die Flächen der Körper undurchsichtig dargestellt. In den Abbildungen mit den Petrie-Polygonen werden die Flächen transparent angezeigt, um den Verlauf der Petrie-Polygone entlang der Polyeder zu visualisieren. Die Petrie-Polygone werden in blau angezeigt. Weiterhin zeigt die Tabelle eine Orthogonalprojektion der regulären Polyeder in ihre Coxeter-Ebene zusammen mit ihrem Petrie-Polygon. Das Petrie-Polygon wird in der Coxeter-Ebene in ein regelmäßiges Polygon mit dem Schläfli-Symbol $\{h\}$ projiziert. Die Tabelle gibt außerdem das Schläfli-Symbol $\{p,q\}$ der regulären Polyeder an.^[1.3]^[3.1]

Die Tabelle zeigt, dass in der Orthogonalprojektion in die Coxeter-Ebene alle platonischen Körper von ihrem Petrie-Polygon eingehüllt werden. Bei den Kepler-Poinsot-Körpern ist das nur für das Große Dodekaeder und das Große Ikosaeder der Fall. Außerdem ist zu erkennen, dass die Orthogonalprojektion der Petrie-Polygone des Ikosaedersterns und des Großen Ikosaeders überschlagene Zehnecke sind, während die Projektionen der Petrie-Polygone aller anderen regulären Polyeder einfache regelmäßige Polygone sind.^[3.1] Schließlich zeigt die Tabelle, dass das Ikosaeder und das Große Dodekaeder dieselben Ecken und Kanten besitzen. Sie unterscheiden sich nur in ihren Flächen und damit auch in ihren Petrie-Polygonen.

Reguläres Polyeder	Schläfli-Symbol	$\{h\}$
Tetraeder	$\{3,3\}$	$\{4\}$
Oktaeder	$\{3,4\}$	$\{6\}$
Würfel	$\{4,3\}$	$\{6\}$
Ikosaeder	$\{3,5\}$	$\{10\}$
Dodekaeder	$\{5,3\}$	$\{10\}$
Dodekaederstern	${\textstyle \{{\frac {5}{2}},5\}}$	$\{6\}$
Großes Dodekaeder	${\textstyle \{5,{\frac {5}{2}}\}}$	$\{6\}$
Ikosaederstern	${\textstyle \{{\frac {5}{2}},3\}}$	${\textstyle \{{\frac {10}{3}}\}}$
Großes Ikosaeder	${\textstyle \{3,{\frac {5}{2}}\}}$	${\textstyle \{{\frac {10}{3}}\}}$

Die Anzahl von Petrie-Polygonen in einem regulären Polyeder ist gegeben durch $2N_{1}/n_{h}$ , wobei $N_{1}$ die Anzahl der Kanten des Polyeders und $n_{h}$ der Zähler von $h$ sind.^[1.4] Beispielsweise hat das Oktaeder $2\cdot 12/6=4$ und der Ikosaederstern $2\cdot 30/10=6$ Petrie-Polygone.

Der Wert von $h$ kann über die Formel

\cos ^{2}{\frac {\pi }{h}}=\cos ^{2}{\frac {\pi }{p}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{q}}

bestimmt werden. Hierbei ist $\{p,q\}$ das Schläfli-Symbol des regulären Polyeders.^[1.5]^[3.1]

Petrie-Polygone der regulären Parkettierungen des zweidimensionalen Raums

Die obige Definition des Petrie-Polygons für reguläre Polyeder lässt sich identisch auf reguläre Parkettierungen des zweidimensionalen Raums anwenden. In diesem Fall sind die Petrie-Polygone unendlich ausgedehnte, zickzackförmige Polygone.^[1.6]^[3.1]

Die folgende Tabelle zeigt die Petrie-Polygone der drei regulären Parkettierungen des zweidimensionalen Raums. Die Tabelle gibt außerdem das Schläfli-Symbol $\{p,q\}$ der regulären Parkettierungen an.^[1.7]

Parkettierung	Schläfli-Symbol	Petrie-Polygon
Quadratgitter	$\{4,4\}$
Dreiecksgitter	$\{3,6\}$
Seckseckgitter	$\{6,3\}$

Petrie-Polygone der regulären vierdimensionalen Polytope

Reguläre vierdimensionale Polytope werden von regulären Polyedern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Ein Petrie-Polygon ist für ein vierdimensionales Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des Polytops gehören, also zu einem regulären Polyeder.^[1.8] Die Definition stützt sich daher auf die Definition für reguläre Polyeder ab.

Die Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein Petrie-Polygon eines 8-Zells. Dieses wird mittels einer Zentralprojektion in zellenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum projiziert (dies entspricht einem Schlegeldiagramm). Das 8-Zell wird von acht Würfeln begrenzt. In der Zentralprojektion erscheint einer der Würfel als kleiner Würfel im Inneren der Projektion, sechs der Würfel erscheinen als Pyramidenstümpfe, die an den kleinen Würfel angrenzen, und der achte Würfel ist der äußere Würfel, der die anderen sieben Würfel umschließt. Anhand der Abbildung lässt sich erkennen, dass das Petrie-Polygon genau drei Kanten mit jedem Würfel gemein hat (gemäß der Definition in diesem Abschnitt) und dass es mit einer Fläche eines Würfels genau zwei Kanten gemein hat, also einen Teil eines Petrie-Polygons des jeweiligen Würfels darstellt (gemäß der Definition der Petrie-Polygone für reguläre Polyeder). Für das 8-Zell verläuft das Petrie-Polygon durch jedes der acht Polyeder, aus denen das 8-Zell aufgebaut ist. Dies ist eine Besonderheit und nicht für alle regulären vierdimensionalen Polytope der Fall.

Die Ecken eines Petrie-Polygon eines vierdimensionalen Polytops liegen nicht in einer Ebene. Es ist daher ein räumliches Polygon. Analog zum dreidimensionalen Fall liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene, der Coxeter-Ebene. Eine Orthogonalprojektion eines regulären vierdimensionalen Polytops in seine Coxeter-Ebene zeichnet sich durch eine besonders hohe Symmetrie aus. Insbesondere projizieren sich alle seine Ecken auf unterschiedliche Punkte in der Coxeter-Ebene (im Gegensatz zum dreidimensionalen Fall, wo sich für manche der regulären Polyeder, beispielsweise dem Würfel und dem Ikosaeder, zwei Ecken auf denselben Punkt in der Coxeter-Ebene projizieren). Wenn ein konvexes reguläres vierdimensionales Polytop in die Coxeter-Ebene projiziert wird, bildet die Projektion des Petrie-Polygons ein regelmäßiges Polygon, das den Rest des projizierten Polytops umschließt.^[1.9]

Die folgende Tabelle listet die konvexen regulären vierdimensionalen Polytope, ihre Schläfli-Symbole und ihre Orthogonalprojektionen in die Coxeter-Ebene auf. Das Petrie-Polygon eines Polytops wird in die Coxeter-Ebene in ein regelmäßiges Polygon mit dem Schläfli-Symbol $\{h\}$ projiziert. Es ist in der Projektion ein $h$ -Eck, das die Projektion umschließt. Dasselbe Petrie-Polygon projiziert sich in einer zur Coxeter-Ebene komplett orthogonalen Ebene in ein regelmäßiges Polygon mit dem Schläfli-Symbol $\{h_{\perp }\}$ . Da alle Werte von $\{h_{\perp }\}$ Brüche sind, stellen die Projektionen in die komplett orthogonale Ebene überschlagene regelmäßige Polygone dar. Diese können auch in der Projektion in die Coxeter-Ebene beobachtet werden. In jeder der Projektionen gibt es einen inneren Ring von $h$ Ecken. Beim 5-Zell und 16-Zell existiert nur ein Ring von Ecken, so dass dieser Ring dem äußeren Ring entspricht. Diese Ecken stellen zusammen mit den Kanten, die sie verbinden, die Projektion eines zweiten Petrie-Polygons dar, das der Projektion des äußeren Petrie-Polygons in die komplett orthogonale Ebene entspricht.^[1.10]^[1.11]

Beispielsweise wird ein Petrie-Polygon des 5-Zells auf ein regelmäßiges Fünfeck $\{5\}$ projiziert und in einer komplett orthogonalen Ebene auf ein Pentagramm ${\textstyle \{{\frac {5}{2}}\}}$ . Beim 8-Zell wird ein Petrie-Polygon auf ein regelmäßiges Achteck $\{8\}$ projiziert und in einer komplett orthogonalen Ebene auf ein überschlagenes Achteck ${\textstyle \{{\frac {8}{3}}\}}$ . Für die anderen Polytope sind die überschlagenen Projektionen der Petrie-Polygone schwerer zu identifizieren, da sie teilweise von anderen Kanten des Polytops überlagert werden. Zur Identifikation der überschlagenen Polygone kann verwendet werden, dass in allen Projektionen die Kanten der überschlagenen Polygone die Lücke in der Mitte der Projektion einhüllen.

Reguläres Polytop	Schläfli-Symbol	$\{h\}$	$\{h_{\perp }\}$
5-Zell	$\{3,3,3\}$	$\{5\}$	${\textstyle \{{\frac {5}{2}}\}}$
8-Zell	$\{4,3,3\}$	$\{8\}$	${\textstyle \{{\frac {8}{3}}\}}$
16-Zell	$\{3,3,4\}$	$\{8\}$	${\textstyle \{{\frac {8}{3}}\}}$
24-Zell	$\{3,4,3\}$	$\{12\}$	${\textstyle \{{\frac {12}{5}}\}}$
120-Zell	$\{5,3,3\}$	$\{30\}$	${\textstyle \{{\frac {30}{11}}\}}$
600-Zell	$\{3,3,5\}$	$\{30\}$	${\textstyle \{{\frac {30}{11}}\}}$

Petrie-Polygon der regulären Parkettierung des dreidimensionalen Raums

Im dreidimensionalen Raum existiert nur eine Parkettierung mit platonischen Körpern: die Parkettierung aus Würfeln (Schläfli-Symbol $\{4,3,4\}$ ). Die Definition des Petrie-Polygons für reguläre vierdimensionale Polytope lässt sich identisch auf diese Parkettierung anwenden. Sie ergibt ein unendlich ausgedehntes schraubenförmiges Polygon.^[1.12]^[3.2]

Petrie-Polygone der regulären Polytope und Parkettierungen in höheren Dimensionen

Die Definition der Petrie-Polygone der regulären vierdimensionalen Polytope kann induktiv auf die regulären Polytope der Dimension fünf oder höher erweitert werden. Ein Petrie-Polygon eines regulären $n$ -dimensionalen Polytops ist ein räumliches Polygon, für das $n-1$ aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine $n$ , zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des Polytops gehören, also zu einem Polytop der nächstniedrigeren Dimension.^[1.8] Wie oben kann diese Definition identisch auf Parkettierungen des $(n-1)$ -dimensionalen Raums angewendet werden.

In Räumen der Dimension fünf oder höher existieren folgende reguläre Polytope:^[1.13]

$\left\{3,3,\ldots ,3,3\right\}$ : das reguläre $n$ -dimensionale Simplex,
$\left\{4,3,\ldots ,3,3\right\}$ : der $n$ -dimensionale Hyperwürfel und
$\left\{3,3,\ldots ,3,4\right\}$ : das $n$ -dimensionale Kreuzpolytop.

Reguläre $n$ -dimensionale Simplexe haben räumliche $(n+1)$ -Ecke als Petrie-Polygon, $n$ -dimensionale Hyperwürfel und $n$ -dimensionale Kreuzpolytope räumliche $(2n)$ -Ecke.^[1.14]

Die Abbildung in diesem Abschnitt zeigt die Orthogonalprojektion eines fünfdimensionalen Hyperwürfels in seine Coxeter-Ebene. Eines seiner Petrie-Polygone wird in ein regelmäßiges Zehneck projiziert, das den Rest der Projektion umschließt.

Weblinks

Commons: Petrie-Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes. 3. Auflage. Dover Publications, New York 1973, ISBN 0-486-61480-8 (englisch).
1. ↑ S. 24, 32.
2. 1 2 S. 24–25.
3. ↑ S. 292–293.
4. ↑ S. 25, 102.
5. ↑ S. 19, 24, 102.
6. ↑ S. 59, 61.
7. ↑ S. 59, 296.
8. 1 2 S. 223.
9. ↑ S. 243.
10. ↑ S. 243–250.
11. ↑ S. 290–293.
12. ↑ S. 91–92.
13. ↑ S. 120–123, 129.
14. ↑ S. 244.
Jürgen Bokowski: Schöne Fragen aus der Geometrie. Ein interaktiver Überblick über gelöste und noch offene Probleme. Springer Spektrum, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-61824-0, doi:10.1007/978-3-662-61825-7.
1. ↑ S. 19, 150.
H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1991, ISBN 0-521-39490-2 (englisch).
1. 1 2 3 4 5 6 S. 13.
2. ↑ S. 34.

[Coxeter_1973-1] H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes. 3. Auflage. Dover Publications, New York 1973, ISBN 0-486-61480-8 (englisch).
↑ S. 24, 32.

1 2 S. 24–25.

↑ S. 292–293.

↑ S. 25, 102.

↑ S. 19, 24, 102.

↑ S. 59, 61.

↑ S. 59, 296.

1 2 S. 223.

↑ S. 243.

↑ S. 243–250.

↑ S. 290–293.

↑ S. 91–92.

↑ S. 120–123, 129.

↑ S. 244.

[2] S. 24, 32.

[5] 1 2 S. 24–25.

[8] S. 292–293.

[9] S. 25, 102.

[10] S. 19, 24, 102.

[11] S. 59, 61.

[12] S. 59, 296.

[13] 1 2 S. 223.

[14] S. 243.

[15] S. 243–250.

[16] S. 290–293.

[17] S. 91–92.

[19] S. 120–123, 129.

[20] S. 244.

[Bokowski_2020-3] Jürgen Bokowski: Schöne Fragen aus der Geometrie. Ein interaktiver Überblick über gelöste und noch offene Probleme. Springer Spektrum, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-61824-0, doi:10.1007/978-3-662-61825-7.
↑ S. 19, 150.

[4] S. 19, 150.

[Coxeter_1991-6] H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1991, ISBN 0-521-39490-2 (englisch).
1 2 3 4 5 6 S. 13.

↑ S. 34.

[7] 1 2 3 4 5 6 S. 13.

[18] S. 34.

[1.1]

[2.1]

[1.2]

[3.1]

[1.3]

[1.4]

[1.5]

[1.6]

[1.7]

[1.8]

[1.9]

[1.10]

[1.11]

[1.12]

[3.2]

[1.13]

[1.14]