Winkel am Kreis

Mit dem Begriff Winkel am Kreis (kurz Kreiswinkel) bezeichnet man drei Arten von Winkeln, die im Zusammenhang mit Kreisen auftreten: Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) werden von zwei Radien begrenzt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) von zwei Sehnen und Sehnentangentenwinkel – entsprechend ihrem Namen – von einer Sehne und einer Tangente.

Definitionen

In den folgenden Definitionen wird ein Kreisbogen (im Bild oben blau gezeichnet) mit den Endpunkten $A$ und $B$ vorausgesetzt. Auf dem Kreisbogen (schwarz), der den gegebenen Kreisbogen zum vollständigen Kreis ergänzt, befindet sich an beliebiger Stelle ein Punkt $P$ . Der Kreismittelpunkt wird mit $M$ bezeichnet.

Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel ( $μ$ ): Der Winkel $μ = ∠ A M B$ ist der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) des gegebenen Kreisbogens.
Umfangswinkel, Peripheriewinkel oder Sehnenwinkel ( $ϕ$ ): Der Winkel $ϕ = ∠ A P B$ ist der Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) des gegebenen Kreisbogens.
Sehnentangentenwinkel ( $τ$ ): Ein Sehnentangentenwinkel des gegebenen Kreisbogens wird begrenzt von der Sehne $\overline{A B}$ und der Kreistangente im Punkt $A$ bzw. $B$ .

Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Mittelpunktswinkeln, Umfangswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf den gegebenen Kreisbogen, sondern auf die Kreissehne $\overline{A B}$ . Es muss aber klar sein, welcher der beiden Bögen, in die die Sehne den Kreis unterteilt, gemeint ist.^[1]

Kreiswinkelsatz (Mittelpunktswinkelsatz, Zentriwinkelsatz)

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.^[2]

Bemerkung: Für den Mittelpunktswinkel $μ = 18 0^{\circ}$ liefert dieser Satz den Umfangswinkel $ϕ = 9 0^{\circ}$ . Der Satz des Thales kann demnach als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes aufgefasst werden.

Beweis 1

Es wird die Verbindungsstrecke $\overline{P M}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen $\overline{P M}$ und $\overline{P A}$ ist mit $φ_{1}$ bezeichnet, der Winkel zwischen $\overline{P M}$ und $\overline{P B}$ mit $φ_{2}$ . Die Dreiecke $P A M$ und $B P M$ sind gleichschenklig (Basiswinkel $φ_{1}$ bzw. $φ_{2}$ , siehe Zeichnungen). Die Winkel $α$ und $β$ sind definiert durch $α = ∠ P M A$ und $β = ∠ B M P$ (Gegenuhrzeigersinn!). Zu beachten ist, dass diese beiden Winkel auch größer als $18 0^{\circ}$ sein können. Die drei Winkel bei $M$ , nämlich $α$ , $β$ und $μ$ , bilden einen $36 0^{\circ}$ -Winkel (Vollwinkel), es gilt also

α + β + μ = 36 0^{\circ}

.

Im Folgenden sind drei Fälle zu unterscheiden:

1. Fall $: M$ zwischen $\overline{P A}$ und $\overline{P B}$

In diesem Fall ist das Viereck $A M B P$ nicht überschlagen. Es kann jedoch konvex (für $μ > 18 0^{\circ}$ ), konkav (für $μ < 18 0^{\circ}$ ) oder zu einem Dreieck ausgeartet sein (für $μ = 18 0^{\circ}$ ).

Der Satz über die Winkelsumme im Dreieck zeigt:

α = 18 0^{\circ} - 2 φ_{1}, β = 18 0^{\circ} - 2 φ_{2}

Einsetzen in die obige Bedingung ergibt:

(18 0^{\circ} - 2 φ_{1}) + (18 0^{\circ} - 2 φ_{2}) + μ = 36 0^{\circ}

36 0^{\circ} - 2 φ_{1} - 2 φ_{2} + μ = 36 0^{\circ}

μ = 2 φ_{1} + 2 φ_{2} = 2 (φ_{1} + φ_{2})

Wegen $ϕ = φ_{1} + φ_{2}$ (siehe Zeichnung) folgt daraus die Behauptung $μ = 2 ϕ$ .

2. Fall $: M$ auf $\overline{P A}$ oder $\overline{P B}$

In diesem Fall ist die Argumentation wie im 1. Fall, allerdings gilt jetzt $φ_{1} = 0^{\circ}$ (falls $M$ auf $\overline{P A}$ ) bzw. $φ_{2} = 0^{\circ}$ (falls $M$ auf $\overline{P B}$ ).

3. Fall $: M$ außerhalb von $\overline{P A}$ und $\overline{P B}$

In diesem Fall ist das Viereck $A M B P$ überschlagen (siehe nebenstehendes Bild: Der Punkt $P$ befindet sich nahe seinen Endlagen bei $A$ oder bei $B$ ).

Fall 3.1: Wenn $M$ näher bei $\overline{P A}$ liegt (siehe Zeichnung), gilt

ϕ = φ_{2} - φ_{1}, 36 0^{\circ} - α = 18 0^{\circ} - 2 φ_{1}, β = 18 0^{\circ} - 2 φ_{2}

.

Die zweite dieser Bedingungen ergibt $α = 18 0^{\circ} + 2 φ_{1}$ . Durch Einsetzen folgt also:

(18 0^{\circ} + 2 φ_{1}) + (18 0^{\circ} - 2 φ_{2}) + μ = 36 0^{\circ}

36 0^{\circ} + 2 φ_{1} - 2 φ_{2} + μ = 36 0^{\circ}

μ = 2 φ_{2} - 2 φ_{1} = 2 (φ_{2} - φ_{1}) = 2 ϕ

Fall 3.2: Wenn $M$ näher bei $\overline{P B}$ liegt, gilt entsprechend

ϕ = φ_{1} - φ_{2}, α = 18 0^{\circ} - 2 φ_{1}, 36 0^{\circ} - β = 18 0^{\circ} - 2 φ_{2}

.

Die letzte dieser Bedingungen bedeutet $β = 18 0^{\circ} + 2 φ_{2}$ . Durch Einsetzen erhält man:

(18 0^{\circ} - 2 φ_{1}) + (18 0^{\circ} + 2 φ_{2}) + μ = 36 0^{\circ}

36 0^{\circ} - 2 φ_{1} + 2 φ_{2} + μ = 36 0^{\circ}

μ = 2 φ_{1} - 2 φ_{2} = 2 (φ_{1} - φ_{2}) = 2 ϕ

Zusammenfassung

In allen Fällen lautet das Ergebnis $μ = 2 ϕ$ .

Beweis 2

1. Fall $:$ Einer der Schenkel des Umfangswinkels verläuft durch den Mittelpunkt

Die beiden Winkel $∠ M A P$ und $∠ A P M$ sind als Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks $P A M$ beide gleich $φ$ . Der Winkel $∠ P M A$ beträgt entsprechend $18 0^{\circ} - 2 φ$ (Winkelsumme). Für den Nebenwinkel folgt daraus

μ = 18 0^{\circ} - (18 0^{\circ} - 2 φ) = 2 φ

.

Fall 1: Ein Schenkel des Umfangswinkels (hier $\overline{P B}$ ) verläuft durch den Mittelpunkt.

2. Fall $:$ AMBP ist ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck

Die Strecke $\overline{P M}$ wird über $M$ hinaus verlängert. Die durch diese Hilfslinie entstandenen Teilwinkel seien mit $μ_{1}, μ_{2}$ bzw. $φ_{1}, φ_{2}$ bezeichnet. Sowohl $μ_{1}$ und $φ_{1}$ als auch $μ_{2}$ und $φ_{2}$ erfüllen die Voraussetzungen von Fall 1, es gilt also $μ_{1} = 2 φ_{1}$ und $μ_{2} = 2 φ_{2}$ . Man erhält folglich

μ = μ_{1} + μ_{2} = 2 φ_{1} + 2 φ_{2} = 2 (φ_{1} + φ_{2}) = 2 φ

.

Diese Argumentation gilt gleichermaßen für $μ < 18 0^{\circ}$ (konkaves Viereck), $μ = 18 0^{\circ}$ (ausgeartetes Viereck) und $μ > 18 0^{\circ}$ (konvexes Viereck).

Fall 2: $A M B P$ ist ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck.

3. Fall $:$ AMBP ist ein überschlagenes Viereck

Da das Dreieck $A P M$ gleichschenklig ist, sind die Winkel $∠ P A M$ und $∠ M P A$ beide gleich groß, hier: $δ$ . Auch das Dreieck $B P M$ ist gleichschenklig, somit muss $∠ P B M = φ + δ$ gelten. Da die Scheitelwinkel beim Schnittpunkt $Q$ gleich groß sind, müssen sich die beiden anderen Winkel der Dreiecke $Q M A$ und $Q B P$ zur selben Summe addieren:

∠ A M Q + ∠ Q A M = ∠ Q P B + ∠ P B Q

Durch Einsetzen folgt

μ + δ = φ + (φ + δ) = 2 φ + δ

,

μ = 2 φ

.

Fall 3: $A M B P$ ist ein überschlagenes Viereck.

In allen drei Fällen ergibt sich, wie behauptet, $μ = 2 φ$ .

Beweis 3

Dieser Beweis^[2] verwendet die Parallelverschiebung, die den Kreismittelpunkt $M$ in den Punkt $P$ überführt. Der zugehörige Verschiebungsvektor ist also $\vec{M P}$ . Die Bildpunkte von $A$ und $B$ bezüglich dieser Verschiebung seien mit $A^{'}$ bzw. $B^{'}$ bezeichnet. Die Verschiebung bildet das Dreieck $A B M$ auf das Dreieck $A^{'} B^{'} P$ ab. Da sich die Winkelgröße bei einer Verschiebung nicht ändert, gilt $∠ A^{'} P B^{'} = ∠ A M B = μ$ . Die Vierecke $A M P A^{'}$ und $B B^{'} P M$ sind Rauten, denn alle ihre Seitenlängen stimmen mit dem Kreisradius überein. Es kann nun die Tatsache ausgenützt werden, dass die Innenwinkel der beiden Rauten mit dem Scheitel $P$ durch die Diagonalen $\overline{A P}$ bzw. $\overline{B P}$ halbiert werden. Die Winkelgrößen $μ$ (Mittelpunktswinkel) und $ϕ$ (Umfangswinkel) lassen sich durch die Größen dieser Innenwinkel ausdrücken. Allerdings ist auch hier eine Fallunterscheidung nötig.

1. Fall $:$ Viereck AMBP nicht überschlagen

$μ$ ist gleich der Summe der Innenwinkel der beiden Rauten bei $P$ , $ϕ$ die Summe der halbierten Innenwinkel. Dies gilt gleichermaßen für $μ < 18 0^{\circ}$ , $μ = 18 0^{\circ}$ und $μ > 18 0^{\circ}$ .

2. Fall $:$ A, M, P oder B, M, P auf einer Geraden

Die Argumentation ist wie im 1. Fall, allerdings verschwindet eine der beiden Rauten. $μ$ ist so groß wie der nicht verschwindende Innenwinkel bei $P$ , $ϕ$ halb so groß.

3. Fall $:$ Viereck AMBP überschlagen

$μ$ ist gleich der Differenz der Innenwinkel der beiden Rauten bei $P$ , $ϕ$ die Differenz der halbierten Innenwinkel.

Zusammenfassung $:$ Der Mittelpunktswinkel $μ$ ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel $ϕ$ .

Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz, Sehnenwinkelsatz)

Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß (siehe Animation).

Beweis: Der Umfangswinkelsatz folgt unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz. Nach diesem Satz ist jeder Umfangswinkel halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel. Also müssen alle Umfangswinkel gleich groß sein.

Auch ein direkter Beweis des Umfangswinkelsatzes ist möglich, und zwar durch einen weiteren Punkt P' auf dem gegebenen Kreisbogen, sodass ein Sehnenviereck AP'BP entsteht. Dieser Beweis verwendet die Tatsache, dass sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel zu $18 0^{\circ}$ ergänzen. (Zur Vermeidung eines Zirkelschlusses ist es allerdings nötig, diese Eigenschaft ohne Rückgriff auf Umfangswinkel zu begründen, nämlich mit Basiswinkeln in gleichschenkligen Dreiecken.) Auf diese Weise sind durch den Winkel bei P' alle Umfangswinkel festgelegt.

Sehnentangentenwinkelsatz

Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Beweis: Zu zeigen ist $τ = ϕ = \frac{1}{2} μ$ .

Das Dreieck $A B M$ ist gleichschenklig. Nach dem Kreiswinkelsatz ( $μ = 2 ϕ$ ) gilt also

α = \frac{18 0^{\circ} - μ}{2} = \frac{18 0^{\circ} - 2 ϕ}{2} = 9 0^{\circ} - ϕ

.

Weil eine Kreistangente senkrecht zum zugehörigen Radius ist ( $α + τ = 9 0^{\circ}$ ), folgt

τ = 9 0^{\circ} - α = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - ϕ) = ϕ

.

Für $μ > 18 0^{\circ}$ muss diese Überlegung geringfügig abgewandelt werden.

Aus $μ = 2 ϕ$ ergibt sich der Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel: $τ = \frac{1}{2} μ$ .

Fasskreisbogen

In unmittelbarem Zusammenhang mit dem Umfangswinkelsatz steht der Begriff des Fasskreisbogens. Das Fasskreisbogenpaar ist definiert als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke $\overline{A B}$ unter einem gegebenen Winkel $α$ erscheint. Fasskreisbögen werden oft für geometrische Konstruktionen verwendet.

Anwendung bei Begründungs- und Konstruktionsaufgaben

Umfangswinkelsatz

Der Umfangswinkelsatz wird in der Elementargeometrie des Öfteren für Begründungen verwendet, etwa bei den Beweisen des Sehnensatzes und des Sekantensatzes mithilfe ähnlicher Dreiecke.

Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 1):

Gegeben seien drei Geraden

g_{1}

,

g_{2}

und

g_{3}

, die sich im Punkt

S

schneiden. Von einem Punkt

P \neq S

werden jeweils die Lote auf

g_{1}

,

g_{2}

und

g_{3}

gefällt.

Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks

A B C

mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein.

Beweis:

Betrachtet wird der Thaleskreis

k

über der Strecke

\overline{P S}

mit verschiedenen Peripheriewinkeln.

Die Winkel $∠ B A C$ und $∠ B S C$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne $\overline{B C}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite $α$ .
Die Winkel $∠ A C B$ und $∠ A S B$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne $\overline{A B}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite $γ$ .
Die Winkel $∠ g_{1} g_{3}$ und $∠ C B A$ haben wegen $β = 18 0^{\circ} - α - γ$ dieselbe Weite $β$ .

Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt $S$ unter einem Winkel von jeweils $6 0^{\circ}$ schneiden, ergibt sich mit $α = β = γ$ als unmittelbare Folgerung (Bild 2):

Gegeben seien drei Geraden

g_{1}

,

g_{2}

und

g_{3}

, die sich im Punkt

S

unter einem Winkel von jeweils

6 0^{\circ}

schneiden. Von einem Punkt

P \neq S

werden jeweils die Lote auf

g_{1}

,

g_{2}

und

g_{3}

gefällt.

Dann ist das Dreieck

A B C

gleichseitig.^[3]

Kreiswinkelsatz

Der Kreiswinkelsatz eignet sich, um etwa den Satz von Cardano zu begründen, aber auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben:

Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge $a$ gegeben ist.

Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge

a

konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.

Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 3).
Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge $a$ ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 4).
Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge $a$ ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 5).

Literatur

Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 161–162
Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15–18

Weblinks

Wikibooks: Kreiswinkelsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Sehnentangentenwinkelsatz – Lern- und Lehrmaterialien

@1@2Vorlage:Toter Link/www.schule-bw.deAlternativbeweis des Umfangswinkelsatzes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Oktober 2026. Suche im Internet Archive)

Einzelnachweise

↑ Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 2. «Wenn klar ist, welcher Bogen mit den Endpunkten $Q$ , $P$ gemeint ist, sprechen wir bisweilen auch vom Umfangswinkel über der Sehne $\overline{P Q}$ .»
1 2 Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15 (google.de [abgerufen am 26. Oktober 2026]).
↑ Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/219

[1] Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 2. «Wenn klar ist, welcher Bogen mit den Endpunkten $Q$ , $P$ gemeint ist, sprechen wir bisweilen auch vom Umfangswinkel über der Sehne $\overline{P Q}$ .»

[Aumann-15-2] 1 2 Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15 (google.de [abgerufen am 26. Oktober 2026]).

[3] Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/219

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[2]

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