Aufbau: Multipendel Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel
n
{\displaystyle n}
Lagrange-Formalismus zweiter Art herleiten.
Mittels Trigonometrie erhält man:
x
1
=
l
1
sin
φ
1
{\displaystyle x_{1}=l_{1}\sin \varphi _{1}}
y
1
=
−
l
1
cos
φ
1
{\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \varphi _{1}}
x
2
=
l
1
sin
φ
1
+
l
2
sin
φ
2
{\displaystyle x_{2}=l_{1}\sin \varphi _{1}+l_{2}\sin \varphi _{2}}
y
2
=
−
l
1
cos
φ
1
−
l
2
cos
φ
2
{\displaystyle y_{2}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-l_{2}\cos \varphi _{2}}
...
x
n
=
l
1
sin
φ
1
+
.
.
.
+
l
n
sin
φ
n
{\displaystyle x_{n}=l_{1}\sin \varphi _{1}+...+l_{n}\sin \varphi _{n}}
y
n
=
−
l
1
cos
φ
1
−
.
.
.
−
l
n
cos
φ
n
{\displaystyle y_{n}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-...-l_{n}\cos \varphi _{n}}
Folglich können die kartesischen Koordinaten
(
x
k
|
y
k
)
{\displaystyle (x_{k}|y_{k})}
m
k
{\displaystyle m_{k}}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
x
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
sin
φ
i
{\displaystyle x_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}\sin \varphi _{i}}
x
˙
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
cos
φ
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}}
y
k
=
−
∑
i
=
1
k
l
i
cos
φ
i
{\displaystyle y_{k}=-\sum _{i=1}^{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
y
˙
k
=
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
sin
φ
i
{\displaystyle {\dot {y}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}}
Kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
,
φ
˙
1
,
.
.
.
,
φ
˙
n
)
=
∑
k
=
1
n
m
k
2
(
x
˙
k
2
+
y
˙
k
2
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {m_{k}}{2}}({\dot {x}}_{k}^{2}+{\dot {y}}_{k}^{2})}
V
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
)
=
g
∑
k
=
1
n
m
k
y
k
{\displaystyle V(\varphi _{1},...,\varphi _{n})=g\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}
Somit ist die Lagrange-Funktion
L
=
T
−
V
{\displaystyle L=T-V}
L
(
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
,
φ
˙
1
,
.
.
.
,
φ
˙
n
)
=
1
2
∑
k
=
1
n
m
k
[
(
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
cos
φ
i
)
2
+
(
∑
i
=
1
k
l
i
φ
˙
i
sin
φ
i
)
2
]
+
g
∑
k
=
1
n
∑
i
=
1
k
m
k
l
i
cos
φ
i
{\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n -ter Stufe ergeben sich aus
d
d
t
∂
L
∂
φ
˙
j
−
∂
L
∂
φ
j
=
0
{\displaystyle {d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {L} \over \partial {\varphi _{j}}}=0}
bzw.
d
d
t
∂
T
∂
φ
˙
j
−
∂
∂
φ
j
(
T
−
V
)
=
0
{\displaystyle {d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {} \over \partial {\varphi _{j}}}(T-V)=0}
für
j
{\displaystyle j}
n
{\displaystyle n}
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (
φ
1
,
.
.
.
,
φ
n
{\displaystyle {\varphi _{1}},...,{\varphi _{n}}}
n
{\displaystyle n}
Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Es kann bei
2
n
{\displaystyle 2n}
Startwerten
(
φ
1
(
t
=
0
)
,
.
.
.
,
φ
n
(
t
=
0
)
,
φ
˙
1
(
t
=
0
)
,
.
.
.
,
φ
˙
n
(
t
=
0
)
)
,
{\displaystyle \left(\varphi _{1}(t=0),...,\varphi _{n}(t=0),{\dot {\varphi }}_{1}(t=0),...,{\dot {\varphi }}_{n}(t=0)\right),}
mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.
Für Stufen
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
mathematischen Pendels .
Hier ergeben sich kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
,
φ
˙
)
=
m
2
l
2
φ
˙
2
{\displaystyle T(\varphi ,{\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}l^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}
V
(
φ
)
=
−
m
g
l
cos
φ
{\displaystyle V(\varphi )=-mgl\cos \varphi }
mit
m
:=
m
1
,
l
:=
l
1
,
φ
:=
φ
1
{\displaystyle m:=m_{1},l:=l_{1},\varphi :=\varphi _{1}}
Entsprechend ist die Bewegungsgleichung :
φ
¨
+
g
l
sin
φ
=
0
{\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0}
Mit der Kleinwinkelnäherung
sin
φ
≈
φ
{\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }
φ
¨
+
g
l
φ
=
0
{\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0}
Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist
φ
(
t
)
=
φ
(
0
)
cos
(
g
l
t
+
α
)
{\displaystyle \varphi (t)=\varphi (0)\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\alpha \right)}
sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
arcsin
(
−
φ
˙
(
0
)
φ
(
0
)
l
g
)
{\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-{\frac {{\dot {\varphi }}(0)}{\varphi (0)}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\right)}
Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:
T
=
2
π
l
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
Der Fall
n
=
2
{\displaystyle n=2}
Doppelpendel dar.
Hier ergeben sich kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
˙
1
,
φ
˙
2
)
=
m
1
2
l
1
2
φ
˙
1
2
+
m
2
2
(
l
1
2
φ
˙
1
2
+
l
2
2
φ
˙
2
2
+
2
l
1
l
2
φ
˙
1
φ
˙
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2})={\frac {m_{1}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}\left(l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)}
V
(
φ
1
,
φ
2
)
=
−
(
m
1
+
m
2
)
g
l
1
cos
φ
1
−
m
2
g
l
2
cos
φ
2
{\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2})=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \varphi _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \varphi _{2}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m
2
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
l
1
φ
¨
1
+
m
2
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
)
g
sin
φ
1
=
0
{\displaystyle m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{2}l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin \varphi _{1}=0}
und
l
2
φ
¨
2
+
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
−
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
g
sin
φ
2
=
0
{\displaystyle l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+g\sin \varphi _{2}=0}
Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.
Der Fall
n
=
3
{\displaystyle n=3}
Tripelpendel dar.
Hier ergibt sich die kinetische Energie
T
{\displaystyle T}
T
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
3
,
φ
˙
1
,
φ
˙
2
,
φ
˙
3
)
=
m
1
+
m
2
+
m
3
2
l
1
2
φ
˙
1
2
+
m
2
+
m
3
2
l
2
2
φ
˙
2
2
+
m
3
2
l
3
2
φ
˙
3
2
+
(
m
2
+
m
3
)
l
1
l
2
φ
˙
1
φ
˙
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2},{\dot {\varphi }}_{3})={\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{2}}l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+{\frac {m_{3}}{2}}l_{3}^{2}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+
m
3
l
1
l
3
φ
˙
1
φ
˙
3
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
+
m
3
l
2
l
3
φ
˙
2
φ
˙
3
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
{\displaystyle +m_{3}l_{1}l_{3}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+m_{3}l_{2}l_{3}{\dot {\varphi }}_{2}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})}
Für das Potential
V
{\displaystyle V}
V
(
φ
1
,
φ
2
,
φ
3
)
=
−
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
g
l
1
cos
φ
1
−
(
m
2
+
m
3
)
g
l
2
cos
φ
2
−
m
3
g
l
3
cos
φ
3
{\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})=-(m_{1}+m_{2}+m_{3})gl_{1}\cos \varphi _{1}-(m_{2}+m_{3})gl_{2}\cos \varphi _{2}-m_{3}gl_{3}\cos \varphi _{3}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m
3
l
3
φ
¨
3
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
¨
1
+
m
3
l
3
φ
˙
3
2
sin
(
φ
1
−
φ
3
)
{\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})}
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
+
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)
g
sin
φ
1
=
0
{\displaystyle +(m_{2}+m_{3})l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{1}=0}
und
m
3
l
3
φ
¨
3
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
l
2
φ
¨
2
+
(
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
−
(
m
2
+
m
3
)
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})-(m_{2}+m_{3})l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+
m
3
l
3
φ
˙
3
2
sin
(
φ
2
−
φ
3
)
+
(
m
2
+
m
3
)
g
sin
φ
2
=
0
{\displaystyle +m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{2}=0}
und
l
3
φ
¨
3
+
l
2
φ
¨
2
cos
(
φ
2
−
φ
3
)
+
l
1
φ
¨
1
cos
(
φ
1
−
φ
3
)
−
l
2
φ
˙
2
2
sin
(
φ
2
−
φ
3
)
−
l
1
φ
˙
1
2
sin
(
φ
1
−
φ
3
)
+
g
sin
φ
3
=
0
{\displaystyle l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}+l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})-l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})+g\sin \varphi _{3}=0}
Simulation:
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Simulation:
n
=
2
{\displaystyle n=2}
Simulation:
n
=
3
{\displaystyle n=3}
![{\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/5864004a43716bfd3db60cd612f8ca0ae6096e4d)
Simulation:
Simulation:
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