Morphismus

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man sogenannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte $X$ und $Y$ eine Klasse von Morphismen von $X$ nach $Y$ (auch als Pfeile bezeichnet).

Man schreibt:

f : X \to Y

.

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Interpretiert man Mengen mit gleicher Struktur als Objekte und die Funktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur verträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer konkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen Relationen sind.

Definition

Sei $𝒞$ eine Kategorie und $A$ und $B$ zwei Objekte von $𝒞$ .

Ein Morphismus $f$ ist ein Bestandteil der Kategorie $𝒞$ , zu dem ein eindeutig bestimmtes Definitionsobjekt $dom (f)$ und ein eindeutig bestimmtes Zielobjekt $cod (f)$ gehören. Man schreibt $f : A \to B$ , wenn $dom (f) = A$ und $cod (f) = B$ .^[1] Morphismen werden auch Pfeile genannt.

Menge der Morphismen

Die Menge der Morphismen zwischen den Objekten $A$ und $B$ in $𝒞$ heißt Hom-Menge und wird mit ${Hom}_{𝒞} (A, B)$ (oder ${Mor}_{𝒞} (A, B)$ ^[2]) notiert. Aus der Eindeutigkeit des Definitions- und Zielobjekts folgt, dass ein Morphismus $f \in {Hom}_{𝒞} (A, B)$ nicht zugleich ein Element von ${Hom}_{𝒞} (C, D)$ sein kann, wenn $(A, B) \neq (C, D)$ .

Zu jedem Objekt $X$ einer Kategorie gibt es mindestens einen Morphismus, nämlich den Identitätsmorphismus ${id}_{X} : X \to X$ . Es gibt allerdings auch die leere Kategorie ohne Objekte und somit auch ohne Morphismen.

Erläuterung

Ein Morphismus ist ein abstraktes mathematisches Objekt, zu dem ein eindeutig bestimmtes Definitionsobjekt und ein eindeutig bestimmtes Zielobjekt gehören. Die konkrete Realisierung von Morphismen hängt von der gewählten Kategorie ab. In vielen konkreten Kategorien werden Morphismen als strukturerhaltende Abbildungen definiert. Wählt man beispielsweise

die Kategorie der Mengen $𝐒 𝐞 𝐭$ , so sind die Morphismen gerade die Funktionen zwischen den Mengen. Mengen tragen keine zusätzliche Struktur, die von den Morphismen erhalten werden müsste.
die Kategorie der Gruppen $𝐆 𝐫 𝐩$ , so sind die Morphismen die Gruppenhomomorphismen. Diese erhalten die Gruppenstruktur.

Allgemein müssen Morphismen jedoch keine Funktionen sein, sondern können beliebige abstrakte mathematische Objekte sein, beispielsweise Zahlen, sofern ihnen in der jeweiligen Kategorie ein Definitionsobjekt und ein Zielobjekt zugeordnet sind.

Beispiele

Konkrete Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der Algebra studiert werden (z. B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Jede Quasiordnung $(M, ≲)$ definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von $M$ sind und ein Morphismus $x \to y$ genau dann existiert, wenn $x ≲ y$ .

In einer Funktorkategorie sind die Morphismen die natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren.

Für manche Kategorien gibt es besondere Bezeichnungen für Morphismen.

Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
Eine Isometrie ist ein Isomorphismus in der Kategorie der metrischen Räumen mit den nichtexpansiven stetigen Abbildungen.
Eine lineare Abbildung ist ein (Homo-)Morphismus zwischen Vektorräumen.

Verknüpfung

Die Verknüpfung (Hintereinanderausführung, Komposition) von Morphismen, in Zeichen: $\circ$ , wird oft in einem kommutativen Diagramm dargestellt, beispielsweise

Typen

Jedes Objekt $X$ einer Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben ${id}_{X} : X \to X,$ der für alle Morphismen $f : X \to Y$ ein rechtsneutrales Element und für alle Morphismen $g : Y \to X$ ein linksneutrales Element der Komposition ist, sodass stets $f \circ {id}_{X} = f$ und ${id}_{X} \circ g = g$ gilt.
Wenn ein Morphismus $f : X \to Y$ eine Rechtsinverse besitzt, d. h. wenn es einen Morphismus $g : Y \to X$ mit $f \circ g = {id}_{Y}$ gibt, dann heißt $f$ Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt (Sektion, Koretraktion) einen Morphismus, der eine Linksinverse besitzt.
Ist $f : X \to Y$ sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt $f$ Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte $X$ und $Y$ als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden (Isomorphismen sind beispielsweise in der konkreten Kategorie der Mengen die bijektiven Abbildungen).
Ein Morphismus von $X$ nach $X$ heißt Endomorphismus von $X .$
Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
Ein Morphismus $f : X \to Y$ mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:
Sind $g, h : Y \to Z$ beliebige Morphismen mit $g \circ f = h \circ f$ , dann ist stets $g = h$ (z. B. ist jeder surjektive Homomorphismus ein Epimorphismus).
Ein Morphismus $f : X \to Y$ mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:
Sind $g, h : W \to X$ beliebige Morphismen mit $f \circ g = f \circ h$ , dann ist stets $g = h$ (z. B. ist jeder injektive Homomorphismus ein Monomorphismus).
Ein Epimorphismus $f$ heißt extremal wenn aus $f = v \circ w$ und $v$ ist ein Monomorphismus, stets folgt: $v$ ist ein Isomorphismus.
Ein Monomorphismus $f$ heißt extremal, wenn aus $f = w \circ v$ und $v$ ist ein Epimorphismus, stets folgt $v$ ist ein Isomorphismus.
Ist $f$ sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist $f$ ein Bimorphismus. Nicht jeder Bimorphismus ist ein Isomorphismus. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.
Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

Literatur

Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1.
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane: General theory of natural equivalences. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 58, Nr. 2, September 1945, S. 231–294.
Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8 (englisch).

Einzelnachweise

↑ Steve Awodey: Category Theory. 2. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2010, ISBN 978-0-19-923718-0, S. 4.
↑ Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart, S. 7.

[1] Steve Awodey: Category Theory. 2. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2010, ISBN 978-0-19-923718-0, S. 4.

[2] Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart, S. 7.

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