Modul (Zahnrad)

Kämmendes Zahnradpaar, Beispiel für ein Zahnrad:
Modul $m=$ 2 mm, Anzahl Zähne $z=$ 24
→ Teilkreisdurchmesser $d=zm=$ 48 mm
→ Kopfkreisdurchmesser $d_{k}=d+2m=$ 52 mm
und Kopfhöhe $h_{k}=m=$ 2 mm
→ Fußkreisdurchmesser $d_{f}=d-2m=$ 44 mm
und Fußhöhe $h_{f}=m=$ 2 mm
→ Zahnteilung $p=m\pi \approx$ 6,283 mm

Der Modul $m$ (plural Moduln) ist eine Maßzahl für die Zahngröße bei Zahnrädern. Er beträgt die halbe Höhe der Zähne eines Zahnrades und gleicht damit beiden lichten Abständen zwischen Fuß-, Teil- und Kopfkreis mit ihren Durchmessern $d_{f},d$ und $d_{k}:$

$r-m=r_{f}~\land ~r={\frac {d}{2}}\leftrightarrow d-2m=d_{f}$

$\land ~r+m=r_{k}~\land ~r={\frac {d}{2}}\leftrightarrow d+2m=d_{k}$

Geometrische Grundlagen

Größe und Einheit

Der Modul hat wie der Teilkreisdurchmesser die Größe Länge, die i. d. R. in der Einheit Millimeter angegeben wird. Obwohl es sich um keine relative Größe handelt, ist der Modul nicht direkt messbar, da der Teilkreis nicht sichtbar ist.

Größenunabhängige Zahnproportionen

Die Bestimmungsgrößen für die Zahnform, wie zum Beispiel Kopf- und Fußhöhe, Fußrundungsradius oder Kopfkantenbruch, werden relativ zum Modul angegeben. Dadurch genügt eine einzige, normative Definition für alle Moduln. Für die Nutzung als reale Größe am verzahnten Bauteil sind sie entsprechend dem Modul umzurechnen.

Unkorrigierte Zahnräder

→ Hauptartikel: Profilverschiebung

Alle Angaben gelten nur für Zahnräder ohne Profilverschiebung, d. h. unkorrigierte Zahnräder.

Zahnradgröße

Maßzahl für die Zahnradgröße

Mit der zum Übersetzungsverhältnis $i$ passend gewählten Zähnezahl $z$ und dem Modul $m$ ist der Teilkreisdurchmesser $d$ bestimmt.

Der Modul ist keine Maßzahl für die Zahnproportion bei Zahnrädern. Vielmehr sind die Zähne eines Zahnrades unabhängig vom gewählten Modul stets gleich proportioniert, also geometrisch ähnlich:

$zm=d\leftrightarrow z={\frac {d}{m}}\leftrightarrow m={\frac {d}{z}}$

Der Modul ist damit indirekt auch eine Maßzahl für die Zahnradgröße: über die jeweils gewählte, ganzzahlige Anzahl der Zähne ergeben sich die konkreten Durchmesser $d,d_{k}$ und $d_{f}.$

• Kopfkreisdurchmesser $d_{k}$ und Kopfhöhe $h_{k}:$

$d_{k}=d+2h_{k}~\land ~h_{k}=m$

$\leftrightarrow d_{k}=d+2m$

• Fußkreisdurchmesser $d_{f}$ und Fußhöhe $h_{f}:$

$d_{f}=d-2h_{f}~\land ~h_{f}=m$

$\leftrightarrow d_{f}=d-2m$

Kleine Zahnräder

→ Hauptartikel: Unterschnitt (Technik) und Profilverschiebung

Bei der Herstellung kleiner Zahnräder besteht die Gefahr des Unterschnitts, dem ungewollten Wegschneiden eines Teils der Zahnflanke durch Wälzfräsen oder Wälzhobeln. Dieser Gefahr kann durch Profilverschiebung begegnet werden. Dadurch ändern sich bei gegebenem Modul sowohl Wälzkreis-, als auch Kopfkreis- und Fußkreisdurchmesser. Die Kongruenz von Teil- und Wälzkreis geht dabei verloren.

Hohlräder

→ Hauptartikel: Hohlrad und Zahnrad

Bei innenverzahnten Hohlrädern ist die Zähnezahl als negativer Wert einzusetzen, sodass sich negative Durchmesser ergeben. Der Fußkreisdurchmesser eines Hohlrades ist betragsmäßig größer als der Kopfkreisdurchmesser.

Zahnteilung $p$

Zahnräder

Die Zahnteilung (auch Umfangsteilung oder kurz Teilung) $p$ ist die Bogenlänge auf dem Teilkreis zwischen zwei gleichen Punkten von zwei benachbarten Zähnen, also die Summe aus Zahn- und Zahnlückenbreite. Diese Referenzpunkte liegen auf dem Teil-, also weder auf dem Kopf- noch dem Fußkreis.

$U=\pi d=pz$

$\leftrightarrow p={\frac {U}{z}}={\frac {\pi d}{z}}=m\pi$

Zahnstangen

Bei Zahnstangen liegt die Zahnteilung an jedem beliebigen Ort der Zahnoberflächen vor, da alle Zähne parallel zueinander stehen. Der Faktor zum Modul bleibt auch hier überall gleich. Für die Länge $L$ von Zahnstangen gilt:

$L=pz\land p=m\pi$

$\leftrightarrow L=m\pi z$

Kämmende Zahnradpaare

Zahnradgrößen

Bei der Zahnraddimensionierung ergibt sich über den gewählten Modul zugleich auch die Zahngröße für alle kämmenden Zahnräder und Zahnstangen. Für diese Zahnräder ergeben sich über die jeweils gewählte, ganzzahlige Anzahl der Zähne deren konkrete Durchmesser $d,d_{k}$ und $d_{f},$ für Zahnstangen deren konkrete Längen $L.$

Es können nur Zahnräder und Zahnstangen des gleichen Moduls miteinander kämmen, also kombiniert werden.

Achsabstand $a$

→ Hauptartikel: Zahnrad

Der kleinstmögliche Achsabstand $a$ kämmender Zahnradpaare beträgt:

$a={\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}={\frac {(z_{1}+z_{2})m}{2}}$

Beträgt der Achsabstand kämmender Zahnräder genau $a$, so sind die jeweiligen Wälz- und Teilkreise kongruent.

Fertigungstoleranzen

Für störungsfreies Kämmen von Zahnradpaaren muss den Fertigungstoleranzen Rechnung getragen werden.

• ein üblicher Wert für die Kopfhöhe ist der Modul:

$h_{k}=m$

• das Kopfspiel findet Berücksichtigung, indem der Fußkreis verkleinert wird, um nicht Gefahr zu laufen, mit dem Kopfkreis des kämmenden Zahnrades zu kollidieren. Dazu wird die Fußhöhe geringfügig größer als der Modul gewählt; nach DIN 780 beträgt der Zuschlag dafür

$\Delta h_{f}={\frac {1}{6}}m~\leftrightarrow ~h_{f}={\frac {7}{6}}m$

Für die drei Kreisdurchmesser bedeutet das:

$d=zm$

$d_{k}=(z+2)m$

$d_{f}=\left(z-{\frac {7}{3}}\right)m$

Achsabstandstoleranz

→ Hauptartikel: Evolventenverzahnung

In Grenzen ermöglicht die Evolventenverzahnung im Gegensatz zu anderen Verzahnungsarten auch unabhängig von Profilverschiebungen eine Veränderung des Achsabstandes kämmender Zahnräder. Entsprechend ändern sich bei gegebenem Modul nur die beiden Wälzkreisdurchmesser. Die Kongruenz der jeweiligen Teil- und Wälzkreise geht dabei verloren.

Normung

Um die Auswahl zueinander passender Zahnräder zu vereinfachen und um standardisierte Werkzeuge verwenden zu können, sind in der DIN 780 zwei Vorzugsreihen definiert. Dabei ist nach Angaben der Norm die Reihe I der Reihe II vorzuziehen.

DIN 780, Reihe I			DIN 780, Reihe II
Modul $m$ [mm]	Zahnteilung $p$, gerundet auf 3 Stellen [mm]		Modul $m$ [mm]	Zahnteilung $p$, gerundet auf 3 Stellen [mm]
0,050	0,157		0,055	0,173
0,060	0,188		0,070	0,220
0,080	0,251		0,090	0,283
0,100	0,314		0,110	0,346
0,120	0,377		0,140	0,440
0,160	0,503		0,180	0,565
0,200	0,628		0,220	0,691
0,250	0,785		0,280	0,880
0,300	0,942		0,350	1,100
0,400	1,257		0,450	1,414
0,500	1,571		0,550	1,728
0,600	1,885		0,650	2,042
0,700	2,199		0,750	2,356
0,800	2,513		0,850	2,670
0,900	2,827		0,950	2,985
1,000	3,142		1,125	3,534
1,250	3,927		1,375	4,320
1,500	4,712		1,750	5,498
2,000	6,283		2,250	7,069
2,500	7,854		2,750	8,639
3,000	9,425		3,500	10,996
4,000	12,566		4,500	14,137
5,000	15,708		5,500	17,279
6,000	18,850		7,000	21,991
8,000	25,133		9,000	28,274
10,000	31,416		11,000	34,558
12,000	37,699		14,000	43,982
16,000	50,265		18,000	56,549
20,000	62,832		22,000	69,115
25,000	78,540		28,000	87,965
32,000	100,531		36,000	113,097
40,000	125,664		45,000	141,372
50,000	157,080		55,000	172,788

Die Maßzahlen der genormten Moduln sind für die primäre Größe Modul rational. Die Zahnteilung $p$ ist dagegen reell, da hier die reelle Kreiszahl $\pi$ einfließt. Der Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen wird von der Fertigungsgenauigkeit verdeckt und ist daher ohne praktische Bedeutung.

Arten des Moduls

Normalmodul $m_{n}$

Modul im Normalschnitt, einer zu den Flankenlinien senkrechten Fläche der Verzahnung. Die Normalschnittfläche ist räumlich gekrümmt.

Stirnmodul $m_{t}$

Modul in einem Stirnschnitt, einer zur Stirnfläche des Zahnrades bzw. zur Radachse senkrechten Fläche. Bei geradverzahnten Stirnrädern ist der Stirnschnitt gleich dem Normalschnitt. Allgemein ist die obige Definition auf diesen Schnitt bezogen. Bei schrägverzahnten Stirnrädern mit Schrägungswinkel $\beta$ ergibt sich der Stirnmodul zu

$m_{t}={\frac {m_{n}}{\cos \beta }}={\frac {p}{\pi }}={\frac {d}{z}}$

Für geradverzahnte Zahnräder gilt:

$\beta =0~\leftrightarrow ~m_{t}=m_{n}$

Axialmodul $m_{x}$

Modul in einem Axialschnitt, einer die Zahnradachse enthaltenden Ebene:

$m_{x}={\frac {m_{n}}{\sin \left|\beta \right|}}={\frac {m_{t}}{\tan \left|\beta \right|}}$

Für geradverzahnte Stirnräder gilt:

$\beta =0~\leftrightarrow ~m_{n}=m_{t}$

Die Verwendung des Axialmoduls ist hier nicht sinnvoll.

Alternative Notation

Im Bereich des angloamerikanischen Maßsystems wurde historisch der Kehrwert des Moduls angegeben, in der Einheit 1/inch, und als „Diametral Pitch“ bezeichnet:

$P_{d}={\frac {z}{d}}\left[{\frac {1}{inch}}\right]={\frac {1}{m}}\left[{\frac {1}{inch}}\right]$

$\leftrightarrow m={\frac {1}{P_{d}}}[inch]={\frac {25{,}4}{P_{d}}}[mm]$

Den Kehrwert zu verwenden entspricht der Angabe der Gewindesteigung als Zahl der Windungen pro inch Schraubenlänge. Der „Diametral Pitch“ wird zu Gunsten des Moduls in Ländern mit angloamerikanischem Maßsystem nicht mehr ausschließlich gebraucht. Ein Zwischenschritt ist der „English Module“, ein Modul in inch statt in mm.

Weblinks

• Formelsammlung Konstruktion - Methoden und Getriebe (abgerufen am 7. Januar 2020)