Stichprobe

Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Grundgesamtheit, die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgewählt wurde. Ursprünglich bezeichnet die Stichprobe die Probe flüssigen Eisens, die bei einem Hochofenabstich zu Zwecken der Qualitätskontrolle entnommen wird. Mit Stichproben wird in Anwendungen der Statistik (etwa in der Marktforschung, aber auch in der Qualitätskontrolle und in der naturwissenschaftlichen, medizinischen und psychologischen Forschung) häufig gearbeitet, da es oft nicht möglich ist, die Grundgesamtheit, etwa die Gesamtbevölkerung oder alle hergestellten Exemplare eines Produkts) zu untersuchen. Die Wahl der Stichprobe ist oft nicht trivial, da sie repräsentativ sein muss, um auf die Grundgesamtheit schließen zu können (siehe dazu z.B. Hochrechnung).

Folgende Methoden, eine Stichprobe zu ziehen (Auswahlverfahren), werden unterschieden:

• Nach dem Zurücklegen bereits gezogener Elemente:

• • Ziehen mit Zurücklegen: Ein Element der Grundgesamtheit, das bereits in eine Stichprobe aufgenommen wurde, kann (wenigstens rein theoretisch) bei den nächsten Ziehungen wieder gezogen werden. So ist es nicht auszuschließen, dass eine Person, die auf der Straße an einer Befragung teilgenommen hat, rein zufällig ein zweites Mal befragt wird.

• • Ziehen ohne Zurücklegen: Jedes Element der Grundgesamtheit kann nur ein Mal in die Stichprobe aufgenommen werden. Wird etwa die Brisanz eines Sprengstoffs getestet, wird aus der laufenden Produktion eine Stichprobe gezogen, die während des Testvorgangs detoniert und daher für keine zweite Stichprobe zur Verfügung steht.

• Nach der Auswahl von Elementen für die Stichprobe:

• • Zufalls-Stichprobe: Jedes Element kann mit einer ganz bestimmten Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe eingehen. Das erfordert die vorherige Erstellung eines Gesamtverzeichnisses aller Elemente der Grundgesamtheit. Unterarten der Zufalls-Stichprobe sind:

• • • Reine (oder einfache) Zufalls-Stichprobe: Die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu geraten, ist für jedes Element gleich.

• • • [[Geschichtete Zufallsstichprobe]]: Die Elemente werden nach einem bestimmten Merkmal in Gruppen (Untermengen) eingeordnet. Innerhalb jeder dieser Gruppen wird dann eine reine Zufalls-Stichprobe gezogen.

• • • Klumpen-Stichprobe: Zuerst wird eine (relativ kleine) reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Danach werden die in den gezogenen Elementen enthaltenen Elemente komplett in die Stichprobe aufgenommen. Ein klassisches Beispiel ist die Befragung ganzer Häuserblocks oder von Schulklassen. Zuerst werden die zu befragenden Schulklassen per Zufallsauswahl bestimmt. Dann werden alle in den Schulklassen enthaltenen Schüler befragt. Bei der Klumpenstichprobe tritt der sogenannte Klumpeneffekt auf. Er ist desto größer je heterogener die Gruppen untereinander sind.

• • Mehrstufige Zufallsauswahl: Hier wird auf 2 Ebenen gezogen. Beispielweise werden auf der ersten Stufe Schulklassen nach einem vorher festgelegten Verfahren gezogen. Danach werden auf der zweiten Stufe die Untersuchungsgegenstände (hier Schüler) gezogen. Als Verfahren kommt die reine Zufalls-Stichprobe als auch gewichtete Verfahren in Frage. Die Klumpenauswahl ist eine spezeille Mehrstufige-Zufallsauswahl.
  • Willkürliche Stichprobe: Elemente aus der Grundgesamtheit werden (von einem Interviewer etwa) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen. Eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Element in die Stichprobe Einzug findet, lässt sich hier nicht mehr angeben. Auch hier werden verschiedene Unterarten unterschieden:

• • • Rein willkürliche Stichprobe (unwissenschaftlich) z.B. Menschen in der Fußgängerzone
    • Quoten-Stichprobe: Wie bei der geschichteten Zufalls-Stichprobe erfolgt zuerst eine Einteilung der Elemente der Grundgesamtheit in Gruppen. Danach wird der Anteil der einzelnen Gruppen an der Grundgesamtheit bestimmt. Die Stichprobe ist nun so zu ziehen, dass dieses Gruppenverhältnis in der Stichprobe möglichst genau so aussieht wie in der Grundgesamtheit.

Sollen zwei Stichproben mittels statistischer Tests miteinander verglichen werden, so muss zwischen abhängigen und unabhängigen Stichproben unterschieden werden:

• Abhängige Stichproben: Elemente von zwei (oder mehr) Stichproben können einander jeweils paarweise zugeordnet werden. Beispiel: Stichprobe 1 besteht aus Personen vor der Behandlung mit einem bestimmten Medikament, und soll verglichen werden mit Stichprobe 2, welche aus den gleichen Personen nach der Behandlung besteht.

• Unabhängige Stichproben: Es besteht kein Zusammenhang zwischen den Elementen der Stichproben. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Elemente der Stichproben jeweils aus unterschiedlichen Population kommen (z. B. Stichprobe 1 besteht aus Frauen, Stichprobe 2 aus Männern), oder wenn Personen nach dem Zufallsprinzip in zwei oder mehrere Gruppen aufgeteilt werden.

Mathematische Definition

Eine Stichprobe ist 1) ein Vektor $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, wobei jedes $x_{i}$ die Realisierung einer Zufallsvariablen $X_{i}$ ist. Die Zufallsvariablen $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ sind unabhängig, besitzen alle die gleiche Verteilungsfunktion und sind über den selben Wahrscheinlichkeitsraum definiert. Für alle $X_{i}$ existiert der Erwartungswert $E(X_{i})$. 2) Eine Teilmenge einer Grundgesamtheit, die gemäss einem Stichprobenplan zufällig ausgewählt worden ist.

Literatur

• Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 10. Auflage. Vahlen, München 1996, ISBN 3-8006-2081-2 (Kapitel 12 und 13)

Weblinks

• http://www.mathe-online.at/lernpfade/hypothesen_testen/?kapitel=1 - Lernpfad: Stichprobe und Grundgesamtheit