Viererimpuls

Als Viererimpuls oder auch Energie-Impuls-Vektor eines Teilchens oder Systems bezeichnet man in der relativistischen Physik zusammenfassend seine Energie und seinen Impuls in Form eines Vierervektors, d. h. eines Vektors mit vier Komponenten (Energie und drei Raumrichtungen des Impulses). In Analogie zu „Raumzeit“ prägten Taylor und Wheeler für den Viererimpuls die Bezeichnung Impenergie (englisch momenergy).

Der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße, d. h., er bleibt konstant, solange das Teilchen oder System keine Einwirkungen von außen erfährt.

Elementare Zusammenhänge

Definition

Der Viererimpuls ist als Vierervektor definiert, wobei die Komponenten wie üblich von 0 bis 3 durchnummeriert werden. Die nullte Komponente ist die Energie, die drei anderen die drei räumlichen Komponenten des Impulsvektors ${\vec {p}}$:

$\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}$.

Die Lichtgeschwindigkeit hat hier die Rolle eines Skalierungsfaktors zwischen den klassische Größen „Ort“ und „Zeit“. Man kann die Größen und Maßeinheiten so definieren, dass der Skalierungsfaktor die Zahl 1 ist, dass also $c$ in den Gleichungen einfach entfällt.

Zusammenhang mit der Geschwindigkeit

Für den Zusammenhang zwischen Energie $E$ und Impuls ${\vec {p}}$ eines Teilchens oder Systems der Masse $m$ mit Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ergibt sich:

${\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma \cdot m\,c\\\gamma \cdot m\,{\vec {v}}\end{pmatrix}}$,

wobei ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ der Lorentz-Faktor ist.

Energie-Impuls-Relation

Das Längenquadrat des Viererimpulses ist – unabhängig von der Geschwindigkeit – immer gleich dem Quadrat der Masse (skaliert mit $c^{2}$) und daher – wie jeder Skalar bzw. jedes Skalarprodukt von Vierervektoren – invariant unter Lorentz-Transformation:

$\mathbf {p} ^{2}={\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}$

Im Minkowski-Raum ist das Skalarprodukt zweier Vierervektoren so definiert, dass das Produkt der nullten Komponenten und die Produkte der ersten bis dritten Komponente entgegengesetzte Vorzeichen erhalten – daher das Minuszeichen in der Formel.

Zusammenhang mit der Raumzeit

		Raumzeit		Impenergie		Verknüpfung
Vierervektor		Raumzeitintervall	$\mathrm {d} \mathbf {x}$	Viererimpuls	$\mathbf {p}$	$\mathbf {p} =\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot {\tfrac {m}{\mathrm {d} \tau }}$
	0-te Komponente	Zeitintervall	$\mathrm {d} t\cdot c$	Energie	$E/c$	$E=\mathrm {d} t\cdot {\tfrac {m}{\mathrm {d} \tau }}\cdot c^{2}$
	1.–3. Komponente	Ortsintervall	$\mathrm {d} {\vec {x}}$	Impuls	${\vec {p}}$	${\vec {p}}=\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot {\tfrac {m}{\mathrm {d} \tau }}$
	Betrag (invariant)	Eigenzeitintervall	$\mathrm {d} \tau \cdot c$	Masse	$m\cdot c$

Der Viererimpuls ermöglicht ebenso wie die vierdimensionale Raumzeit eine elegante und anschauliche Beschreibung von Energie und Impuls. Man sieht die Analogien zwischen den skalaren Größen Zeit und Energie sowie den Dreiervektoren Ort und Impuls. Die Masse (Ruheenergie) ist analog zur Eigenzeit.

Massenschale

Zerfall eines ruhenden Pions in ein Myon und ein Anti­neutrino im Energie-Impuls-Raum (vereinfachte Darstellung mit nur einer Impuls­dimension): Die Vierer­impulse liegen auf den jeweiligen Massen­schalen (π, μ: violett). Da (Anti-)Neutrinos fast masselos sind, ist ihre Massen­schale (grün) fast gleich dem Vorwärts­lichtkegel. Es gilt der Erhaltungs­satz $\mathbf {p} _{\pi }=\mathbf {p} _{\mu }+\mathbf {p} _{\bar {\nu }}$.

Die für die relativistische Kinematik grundlegende Energie-Impuls-Beziehung bedeutet geometrisch, dass die möglichen Viererimpulse von Teilchen der Masse $m$ im vierdimensionalen Impulsraum (Impenergie-Raum) auf der durch die Gleichung

${E^{2}}/{c^{2}}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}\,c^{2}$

beschriebenen dreidimensionalen Hyperfläche liegen, die ein zweischaliges Hyperboloid ist und deren Asymptoten den Lichtkegel des Impulsraumes bilden. Weil ein Viererimpuls stets zukunftsgerichtet ist (d. h. im Inneren des Vorwärtslichtkegels liegt), kommt nur eine der beiden Schalen des Hyperboloids in Frage, und zwar die durch die Gleichung

$E/c=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}$

beschriebene so genannte Massenschale.

Für virtuelle Teilchen gilt ${\textstyle E^{2}/c^{2}-{\vec {p}}^{2}\neq m^{2}c^{2}}$, wobei ${\textstyle m}$ die Masse desselben Teilchens in reellem Zustand ist. Im Fachjargon sagt man: Sie „liegen nicht auf der Massenschale.“ oder: Sie sind nicht „on-shell“, sondern „off-shell“.

Erhaltungssätze

Der Viererimpuls bleibt stets erhalten. Zum Beispiel gilt beim Zerfall eines negativ geladenen Pions in ein Myon und ein Antineutrino:

$\mathbf {p} _{\mu }+\mathbf {p} _{\bar {\nu }}=\mathbf {p} _{\pi }$.

Da dies für alle vier Vektorkomponenten separat gilt, entspricht es der klassischen Energie- und Impulserhaltung. Die Masse bleibt hingegen nicht erhalten (außer wenn die Vektoren parallel sind), so wie auch in der klassischen Vektoraddition die Länge der Vektoren nicht additiv ist.

Herleitung der Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls

Aus dem Postulat, dass Erhaltung des Viererimpulses $\mathbf {p}$, also die Energie- und Impulserhaltung, für jeden Beobachter gilt, lässt sich die Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls mathematisch herleiten.

Wenn einem Teilchen eine additive Erhaltungsgröße $p_{1}$ zukommt und einem anderen Teilchen die Erhaltungsgröße $p_{2}$, dann kommt dem System beider Teilchen die Erhaltungsgröße $p=p_{1}+p_{2}$ zu. Auch ein bewegter Beobachter stellt bei beiden Teilchen Erhaltungsgrößen $p_{1}^{\prime }$ und $p_{2}^{\prime }$ fest, allerdings haben sie nicht unbedingt dieselben, sondern transformierte Werte. Es muss aber gelten, dass die Summe dieser Werte das Transformierte der Summe ist:

$p_{1}^{\prime }+p_{2}^{\prime }=(p_{1}+p_{2})^{\prime }$

Ebenso kommt (für alle Zahlen $a$) einem vervielfachten System mit Erhaltungsgröße $a\,p$ für den bewegten Beobachter die vervielfachte Erhaltungsgröße

$(a\,p)^{\prime }=a\,p^{\prime }$

zu. Das besagt mathematisch, dass die Erhaltungsgrößen, die ein bewegter Beobachter misst, durch eine lineare Transformation $L$

$p^{\prime }=Lp$

mit den Erhaltungsgrößen des ruhenden Beobachters zusammenhängen.

Die lineare Transformation ist dadurch eingeschränkt, dass solch eine Gleichung für jedes Paar von Beobachtern gelten muss, wobei die Bezugssysteme der Beobachter durch Lorentztransformationen $\Lambda$ und Verschiebungen auseinander hervorgehen. Hängen die Bezugssysteme vom ersten und zweiten Beobachter durch $\Lambda _{1}$ und vom zweiten zu einem dritten durch $\Lambda _{2}$ zusammen, dann hängt das Bezugssystem vom ersten mit dem dritten durch $\Lambda _{2}\circ \Lambda _{1}$ zusammen. Genauso müssen die zugehörigen Transformationen der Erhaltungsgrößen

$L(\Lambda _{2})\circ L(\Lambda _{1})=L(\Lambda _{2}\circ \Lambda _{1})$

erfüllen.

Im einfachsten Fall ist $L(\Lambda )=\Lambda$. Da Lorentztransformationen $4\times 4$-Matrizen sind, betrifft also das einfachste, nichttriviale Transformationsgesetz, bei dem nicht einfach $p^{\prime }=p$ gilt, vier Erhaltungsgrößen $p$, die wie die Raumzeitkoordinaten als Vierervektor transformieren:

$\mathbf {p} ^{\prime }=\Lambda \mathbf {p}$

Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seines Viererimpulses $\mathbf {p}$, die wie ein dreidimensionaler Ortsvektor bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist aber der Nullvektor. Also hat der Viererimpuls $\mathbf {p}$ eines ruhenden Teilchens einen Wert

$\mathbf {p} _{\text{Ruhe}}={\begin{pmatrix}m\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Die Bezeichnung $m$ ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für irgendeinen Wert.

Für einen entlang der $x$-Achse bewegten Beobachter hat das Teilchen eine Geschwindigkeit $v$ und einen lorentztransformierten Viererimpuls (wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen mit $c=1$):

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&{\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&&\\{\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&&\\&&1&\\&&&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}\\{\frac {m\,v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\\0\\0\end{pmatrix}}$

Entwickelt man die vier Erhaltungsgrößen nach der Geschwindigkeit:

${\begin{pmatrix}{\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}\\{\frac {m\,v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m+{\frac {1}{2}}\,mv^{2}+\dots \\m\,v+\dots \\0\\0\end{pmatrix}}$

und vergleicht man mit Newtons Mechanik, so enthüllt sich die physikalische Bedeutung der Komponenten des Viererimpulses: die erste Komponente ist die Energie und die drei Komponenten, die sich bei Drehungen wie ein Ortsvektor ändern, sind der Impuls:

$\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}$

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter $m$ in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die Masse. Sie muss allen Beobachtungen nach positiv sein.

Anwendung: Bewegungsgleichung und der Kraft/Leistung-Vierervektor

Spaltet man die Masse vom Viererimpuls ab, so verbleibt die Vierergeschwindigkeit $\mathbf {u}$:

$\mathbf {p} =m\,\mathbf {u}$

Sie ist die Ableitung der Weltlinie ${\tilde {\boldsymbol {x}}}(\tau )=(ct(\tau ),x(\tau ),y(\tau ),z(\tau ))$, die das Teilchen durchläuft, nach seiner Eigenzeit $\tau$:

$\mathbf {u} ={\frac {\mathrm {d} {\tilde {\mathbf {x} }}}{\mathrm {d} \tau }}={\begin{pmatrix}{\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}\end{pmatrix}}$

d. h., die Vierergeschwindigkeit ist der normierte Tangentialvektor an der Weltlinie:

$(\mathbf {u} ^{0})^{2}-{\vec {u}}^{2}=c^{2}$

Das Differential $\mathrm {d} \tau$ der Eigenzeit ist – im Gegensatz zu $\mathrm {d} t$ – eine skalare Größe und ergibt den Nenner ${\sqrt {1-{{\vec {v}}^{2}/c^{2}}}}$.

Im mitbewegten System ist ${\vec {v}}=0$ und bleibt Null, solange keine Kraft einwirkt. Falls jedoch während einer Zeit $\delta \tau$ eine Kraft ${\vec {K}}$ ausgeübt und gleichzeitig eine externe Leistung $L$ zugeführt wird, erhöhen sich sowohl die Geschwindigkeit als auch die Energie des Teilchens (im selben Bezugssystem wie zuvor!). Durch den Kraftstoß und die Leistungszufuhr gilt dann als Bewegungsgleichung:

$\delta \,\mathbf {p} =\delta (m\,\mathbf {u} )={\begin{pmatrix}L/c\\{\vec {K}}\end{pmatrix}}\delta \tau$

Die rechte Seite dieser Gleichung definiert den Kraft-Leistung-Vierervektor. Es wird also u. a. die Ruheenergie des Systems erhöht von $mc^{2}$ auf $mc^{2}+L\delta \tau$, d. h., die Masse wird leicht erhöht; vgl. Äquivalenz von Masse und Energie. Gleichzeitig wird durch den Kraftstoß die Geschwindigkeit – und somit die kinetische Energie – erhöht. Dabei wird vorausgesetzt, dass die von Null ausgehende Geschwindigkeit nach der Erhöhung immer noch klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit bleibt, sodass im mitbewegten System die Newtonsche Physik gültig ist.

Siehe auch

• Energie-Impuls-Tensor

Literatur

• Edwin F. Taylor, John A. Wheeler: Spacetime Physics 2nd Ed. W. H. Freeman and Company, New York 1992. ISBN 978-0-71672-327-1. Kostenfreier Download: [1] (PDF)