Lipschitz-Gebiet

In der Mathematik ist ein Lipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mit Lipschitz-Rand genannt – ein Gebiet im euklidischen Raum, dessen Rand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal der Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

Definition

Ein Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls zugleich positive Zahlen $\delta$ und $M$ und eine lokal endliche Überdeckung $(U_{i})_{i}$ des Randes $\partial \Omega$ existieren, so dass für jedes $U_{i}$ eine reellwertige Funktion $f_{i}$ von $n-1$ Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:

1. Für eine Zahl $R$ hat jede Teilfamilie von $(U_{i})_{i}$ mit $R+1$ Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten ${\displaystyle x,y\in \Omega _{\delta }:=\{a\in \Omega$ :\operatorname {dist} (a,\partial \Omega )<\delta \}} mit $|x-y|<\delta$ existiert ein $i$, so dass

$x,y\in V:=\{a\in U_{i}:\operatorname {dist} (a,\partial U_{i})>\delta \}$

gilt.

3. Jede Funktion $f_{i}$ erfüllt eine Lipschitz-Bedingung

$|f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})-f_{i}(\nu _{i,1},\ldots ,\nu _{i,n-1})|<M|\xi _{i,1}-\nu _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1}-\nu _{i,n-1}|$

mit der Lipschitz-Konstanten $M$.

4. Für ein kartesisches Koordinatensystem $(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})$ in $U_{j}$ ist die Menge $\Omega \cap U_{i}$ beschrieben durch

$\xi _{i,n}<f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})$.

Beschränkte Lipschitz-Gebiete

Falls $\Omega$ ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet $\Omega$ ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt $x\in \partial \Omega$ eine Umgebung $U_{i}$ existiert, so dass die Menge $\partial \Omega \cap U_{i}$ der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.

Eigenschaften

• Jedes $C^{k}$-Gebiet mit $k\geq 1$ ist auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.

Beispiele und Gegenbeispiele

Das Gebiet ist kein Lipschitz-Gebiet. Für eine Umgebung von $(0,0)$ kann keine entsprechende Lipschitz-stetige Funktion gefunden werden.

• Die offene Kreisfläche ist ein $C^{\infty }$-Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.
• Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein $C^{1}$-Gebiet.
• Das beschränkte Gebiet

$K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq y\leq x^{2},0\leq x\leq 1\}$

ist kein Lipschitz-Gebiet, da der Rand des Gebietes in einer Umgebung von $(0,0)$ nicht als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion dargestellt werden kann.

• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

${\displaystyle \Omega$ :=\{x\in \mathbb {R} ^{d}:|x-x_{0}|<R,x\neq x_{0}+\lambda e_{1}\ {\text{for}}\ 0\leq \lambda <R\}} ,

wobei $e_{1}$ ein Basisvektor der kanonischen Basis des $\mathbb {R} ^{d}$ ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.

Theorie partieller Differentialgleichungen

In der Theorie der Sobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten des Einbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen und Variationsproblemen untersucht werden.