Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus $\mathrm {Li} _{\nu }(z)$ ausdrücken:

$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]$

$\chi _{\nu }(z)=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-{\frac {1}{2^{\nu }}}\operatorname {Li} _{\nu }(z^{2})$

Die Reihendarstellungen entsprechen den geschlossenen Ausdrücken:

$\chi _{-1}\left(x\right)={\frac {x\left(1+x^{2}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}$

$\chi _{0}\left(x\right)={\frac {x}{1-x^{2}}}$

$\chi _{1}(x)=\operatorname {arctanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

Für große $\nu$ strebt die Funktion gegen $x$, d. h. $\chi _{\infty }(x)=x$.

Funktion für $\nu =2$:

$\chi _{2}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

$\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {artanh} (xy)}{y}}\,\mathrm {d} y$

$\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}$

Spezielle Werte

Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,{\frac {1}{x}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (x)-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {x\,{\sqrt {1-y^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}$

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

${\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

$\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert $x=1$ in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

$\chi _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y={\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

$\chi _{2}(x)+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} (x)\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}$

Beispielsweise gilt:

$\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}$

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

${\begin{matrix}\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}{\bigl [}\ln({\sqrt {2}}+1){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-1})&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-3})&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\end{matrix}}$

mit der imaginären Einheit ${\rm {i}}$, der Goldenen Zahl $\Phi =({\sqrt {5}}+1)/2$ und der catalanschen Konstanten $G$.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion $\lambda$

$\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,$

und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$:

$\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).$

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

$\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}}).$

Die Legendresche Chi-2-Funktion ist das imaginäre Gegenstück zum Arkustangensintegral

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)$

Siehe auch

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld (englisch).
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.