Laser-Linienbreite

Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

Theorie

Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

Die erste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle war ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation“ (auf Deutsch: Mikrowellen-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung). Genauer gesagt war es der Ammoniak-Maser, der auf einer Wellenlänge von 12,5 mm emittiert, welcher 1954 von Gordon, Zeiger und Townes erstmals betrieben wurde.^[1] Ein Jahr später leiteten dieselben Autoren^[2] theoretisch die Maser-Linienbreite her, indem sie die sinnvollen Näherungen machten, dass ihr Ammoniak-Maser

(i) im Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „continuous-wave“, cw) arbeitet,^[2]

(ii) ein ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt,^[2] und

(iii) keine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste durch die Spiegel.^[2]

Bemerkenswerterweise basiert diese Herleitung^[2] auf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt die Ammoniak-Moleküle als Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen keine quantisierten Felder oder Quantenfluktuationen). Daraus resultiert die halbe Halbwertsbreite (englisch: „half-width-at-half-maximum“, HWHM) der Maser-Emission^[2]

Δ ν_{M}^{*} = \frac{4 π k_{B} T (Δ ν_{c}^{*})^{2}}{P_{a u s}} \Leftrightarrow Δ ν_{M} = \frac{2 π k_{B} T (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}},

die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „full-width-at-half-maximum“, FWHM) $Δ ν_{M} = 2 Δ ν_{M}^{*}$ der Maser-Emission umgerechnet wird. $k_{B}$ ist die Boltzmann-Konstante, $T$ ist die Temperatur, $P_{a u s}$ ist die Ausgangsleistung des Lasers, und $Δ ν_{c}^{*}$ und $Δ ν_{c} = 2 Δ ν_{c}^{*}$ sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.

Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde),^[3] transferierten Schawlow und Townes^[4] die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie $k_{B} T$ durch die Photonenenergie $h ν_{L}$ ersetzten. $h$ ist die Planck-Konstante und $ν_{L}$ die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass

(iv) während der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,^[5]

und führt zur Schawlow-Townes-Linienbreite:^[4]

Δ ν_{L, S T}^{*} = \frac{4 π h ν_{L} (Δ ν_{c}^{*})^{2}}{P_{a u s}} \Leftrightarrow Δ ν_{L, S T} = \frac{2 π h ν_{L} (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}} .

Auch der Transfer vom Mikrowellen- zum optischen Spektralbereich beruht auf einer rein semi-klassischen Grundlage,^[4] ohne die Annahme von quantisierten Feldern oder Quanten-Fluktuationen. Daher basiert die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett auf semi-klassischen physikalischen Annahmen^[2]^[4] und ist eine vierfache Näherung einer allgemeineren Laser-Linienbreite,^[5] die im Folgenden hergeleitet wird.

Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonator^[6] der geometrischen Länge $ℓ$ , der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex $n$ hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.

Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit $c = c_{0} / n$ fort, wobei $c_{0}$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit $t_{R T}$ und der freie Spektralbereich $Δ ν_{F S R}$ gegeben durch^[6]^[5]

t_{R T} = \frac{1}{Δ ν_{F S R}} = \frac{2 ℓ}{c} .

Licht in der uns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert auf der q-ten Resonanzfrequenz^[6]^[5]

ν_{L} = \frac{q}{t_{R T}} = q Δ ν_{F S R} .

Die exponentielle Auskopplungszeit $τ_{a u s}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{a u s}$ ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen $R_{i}$ der beiden Resonator-Spiegel $i = 1, 2$ zu^[6]^[5]

R_{1} R_{2} = e^{- t_{R T} / τ_{a u s}} \Rightarrow \frac{1}{τ_{a u s}} = \frac{- \ln (R_{1} R_{2})}{t_{R T}} .

Die exponentielle intrinsische Verlustzeit $τ_{v e r l}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{v e r l}$ ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste $L_{R T}$ pro Resonator-Umlauf zu^[5]

1 - L_{R T} = e^{- t_{R T} / τ_{v e r l}} \Rightarrow \frac{1}{τ_{v e r l}} = \frac{- \ln (1 - L_{R T})}{t_{R T}} .

Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1 / τ_{c}$ betragen somit^[5]

\frac{1}{τ_{c}} = \frac{1}{τ_{a u s}} + \frac{1}{τ_{v e r l}} = \frac{- \ln [R_{1} R_{2} (1 - L_{R T})]}{t_{R T}} .

Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit $t_{R T} .$ ^[5] Im Folgenden nehmen wir an, dass $ℓ$ , $n$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ und $L_{R T}$ und daher auch $τ_{a u s}$ , $τ_{v e r l}$ und $τ_{c}$ sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Neben der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite $Δ ν_{c}$ der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ in den Frequenzraum,^[6]^[5]

Δ ν_{c} = \frac{1}{2 π τ_{c}} .

Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) $Q_{c}$ ist definiert als die Energie $W_{s p e i c h}$ , die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie $W_{l o s t}$ , die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,^[5]

Q_{c} = 2 π \frac{W_{s p e i c h} (t)}{W_{l o s t} (t)} = 2 π \frac{φ (t)}{- \frac{1}{ν_{L}} \frac{d}{d t} φ (t)} = 2 π ν_{L} τ_{c} = \frac{ν_{L}}{Δ ν_{c}},

wobei $φ = W_{s p e i c h} / h ν_{L}$ die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit $τ_{c}^{c o h}$ und die Kohärenzlänge $ℓ_{c}^{c o h}$ des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichung^[5]

τ_{c}^{c o h} = \frac{1}{c} ℓ_{c}^{c o h} = 2 τ_{c} .

Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten $N_{2}$ und $N_{1}$ des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte $σ_{e}$ und $σ_{a}$ der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ zu^[5]

g = σ_{e} N_{2} - σ_{a} N_{1} .

Ein Wert $g > 0$ bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz $ν_{L}$ , während ein Wert $g < 0$ Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit $τ_{L}$ , mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:^[5]

\frac{1}{τ_{L}} = \frac{1}{τ_{c}} - c g .

Die anderen vier Eigenschaften der spektralen Kohärenz der aktiven Resonator-Mode erhält man in derselben Weise wie für die passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt sich durch Fourier-Transformation in den Frequenzraum,^[5]

Δ ν_{L} = \frac{1}{2 π τ_{L}} .

Ein Wert $g > 0$ führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert $g < 0$ zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgt^[5]

Q_{L} = 2 π \frac{W_{s p e i c h} (t)}{W_{l o s t} (t)} = 2 π \frac{φ (t)}{- \frac{1}{ν_{L}} \frac{d}{d t} φ (t)} = 2 π ν_{L} τ_{L} = \frac{ν_{L}}{Δ ν_{L}} .

Die Kohärenzzeit und -länge betragen^[5]

τ_{L}^{c o h} = \frac{1}{c} ℓ_{L}^{c o h} = 2 τ_{L} .

Spektraler Kohärenzfaktor

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor $Λ$ eingeführt:^[5]

Λ := \frac{1}{1 - c g τ_{c}} .

Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor $Λ$ :^[5]

τ_{L} = Λ τ_{c}, (Δ ν_{L})^{- 1} = Λ (Δ ν_{c})^{- 1}, Q_{L} = Λ Q_{c}, τ_{L}^{c o h} = Λ τ_{c}^{c o h}, ℓ_{L}^{c o h} = Λ ℓ_{c}^{c o h} .

Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

Für eine gegebene Zahl $φ$ an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:^[5]

R_{s t i m} = c g φ,

R_{a b k l i n g} = \frac{1}{τ_{c}} φ .

Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somit^[5]

Λ = \frac{R_{a b k l i n g}}{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}} .

Die Resonatorabklingzeit der lasenden Resonator-Mode beträgt^[5]

τ_{L} = Λ τ_{c} = \frac{R_{a b k l i n g}}{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}} τ_{c} .

Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgt^[5]

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} .

Diese fundamentale Linienbreite gilt für Laser mit beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- oder Drei-Niveau-Schema oder irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), im Betrieb unterhalb, an, und oberhalb der Laser-Schwelle, einer Verstärkung, die kleiner, gleich, oder größer als die Verluste ist, und in einem CW- oder transienten Laser-Regime.^[5]

Aus dieser Herleitung wird deutlich, dass die fundamentale Linienbreite eines CW-Lasers auf dem semi-klassischen Effekt beruht, dass die Verstärkung die Resonatorabklingzeit verlängert.^[5]

Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

Die spontane Emissionsrate in die lasende Resonator-Mode hinein ist gegeben durch^[5]

R_{s p o n} = c σ_{e} N_{2} .

Es ist zu beachten, dass $R_{s p o n}$ grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird.^[7]^[5] Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden.^[5] Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich als^[5]

\frac{d}{d t} φ = R_{s p o n} + R_{s t i m} - R_{a b k l i n g} = c σ_{e} N_{2} + c g φ - \frac{1}{τ_{c}} φ .

Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist $d φ / d t = 0$ . In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher ist^[5]

R_{s t i m} - R_{a b k l i n g} = - R_{s p o n} < 0.

Die stimulierte Emissionsrate ist kleiner als die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste.^[5] Diese Tatsache ist seit Jahrzehnten bekannt und wurde dazu ausgenutzt, das Verhalten von Halbleiter-Lasern an der Laser-Schwelle quantitativ zu beschreiben.^[8]^[9]^[10]^[11] Selbst weit oberhalb der Laser-Schwelle ist die Verstärkung immer noch minimal kleiner als die Verluste. Es ist genau dieser extrem kleine Unterschied, der die endliche Linienbreite eines CW-Lasers hervorruft.^[5]

Aus dieser Herleitung wird klar, dass ein Laser grundlegend ein Verstärker spontaner Emission ist und die CW-Laser-Linienbreite durch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.^[5] Auch in quantenoptischen Beschreibungen der Laser-Linienbreite,^[12] die auf der Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, kann gezeigt werden, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.^[5]

Schawlow-Townes-Näherung

Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite $Δ ν_{L}$ , die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:

(i) Es ist ein reiner CW-Laser. Entsprechend gilt^[5]

R_{a b k l i n g} - R_{s t i m} = R_{s p o n} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = \frac{R_{s p o n}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} .

(ii) Es ist ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend gilt^[5]

N_{1} = 0 \Rightarrow c g = c (σ_{e} N_{2} - σ_{a} N_{1}) = c σ_{e} N_{2} = R_{s p o n} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{R_{s p o n}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = \frac{c g}{\frac{1}{τ_{c}} φ} Δ ν_{c} .

(iii) Intrinsische Resonator-Verluste sind vernachlässigbar. Entsprechend gilt^[5]

\frac{1}{τ_{v e r l}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{τ_{c}} = \frac{1}{τ_{a u s}} \Rightarrow P_{a u s} = h ν_{L} \frac{1}{τ_{a u s}} φ = h ν_{L} \frac{1}{τ_{c}} φ \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{c g}{\frac{1}{τ_{c}} φ} Δ ν_{c} = \frac{c g h ν_{L}}{P_{a u s}} Δ ν_{c} .

(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit $τ_{c}$ durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor $Λ$ , die Photonenzahl $φ$ in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung $P_{a u s}$ unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend gilt^[5]

R_{s t i m} = R_{a b k l i n g} \Rightarrow R_{s p o n} = c g = \frac{1}{τ_{c}} = 2 π Δ ν_{c} \Rightarrow

Δ ν_{L} = \frac{c g h ν_{L}}{P_{a u s}} Δ ν_{c} = \frac{2 π h ν_{L} (Δ ν_{c})^{2}}{P_{a u s}} = Δ ν_{L, S T} .

Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden,^[2]^[4] auf die fundamentale Laser-Linienbreite $Δ ν_{L}$ anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.^[5]

Zusammenfassend lautet die fundamentale Laser-Linienbreite^[5]

Δ ν_{L} = \frac{1}{Λ} Δ ν_{c} = \frac{R_{a b k l i n g} - R_{s t i m}}{R_{a b k l i n g}} Δ ν_{c} = (1 - c g τ_{c}) Δ ν_{c} = Δ ν_{c} - \frac{c g}{2 π},

während die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite und daher hauptsächlich von historischer Bedeutung ist.

Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

Nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1958 wurde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung^[4] auf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals mit demselben Namen bezeichnet, nämlich der Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch ist in der publizierten Literatur zur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, da oft unklar ist, welche Erweiterung der ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung die jeweiligen Autoren betrachten oder benutzen.

Einige semi-klassische Erweiterungen hatten zum Ziel, eine oder mehrere der oben genannten Näherungen (i)-(iv) zu eliminieren, wodurch diese erweiterten Gleichungen der oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite in ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.

Folgende mögliche Erweiterungen der fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:

Hempstead und Lax,^[13] sowie unabhängig Hermann Haken,^[14] sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.
Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern.^[15] Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird.^[16]^[17] Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Moden^[18] und Polarizationsmoden.^[19] Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.
Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken.^[20] Daher wird manchmal der sogenannte „Henry- $α$ -Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

Messung der Laser-Linienbreite

Eine der ersten Methoden zur Messung der spektralen Kohärenz eines Lasers war die Interferometrie.^[21] Eine typische Methode zur Messung der Laser-Linienbreite ist selbst-heterodyne Interferometrie.^[22]^[23]

Dauerstrich-Laser

Seltenerd-dotierte dielektrische oder Halbleiter-basierte Laser mit verteilter Rückkopplung durch integrierte Bragg-Spiegel haben typische Linienbreiten in der Größenordnung von 1 kHz.^[24]^[25] Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser kann weit weniger als 1 kHz betragen.^[26] Beobachtete Linienbreiten sind größer als die fundamentale Laser-Linienbreite, da technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen der optischen oder elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- und Längenänderungen aufgrund von Temperaturschwankungen usw.).

Einzelnachweise

↑ J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: Molecular microwave oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3. In: Physical Review. 95. Jahrgang, Nr. 1, 1954, S. 282–284, doi:10.1103/PhysRev.95.282 (englisch).
1 2 3 4 5 6 7 8 J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: The maser−New type of microwave amplifier, frequency standard, and spectrometer. In: Physical Review. 99. Jahrgang, Nr. 4, 1955, S. 1264–1274, doi:10.1103/PhysRev.99.1264 (englisch).
↑ T. H. Maiman: Stimulated optical radiation in Ruby. In: Nature. 187. Jahrgang, Nr. 4736, 1960, S. 493–494, doi:10.1038/187493a0 (englisch).
1 2 3 4 5 6 A. L. Schawlow, C. H. Townes: Infrared and optical masers. In: Physical Review. 112. Jahrgang, Nr. 6, 1958, S. 1940–1949, doi:10.1103/PhysRev.112.1940 (englisch).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 M. Pollnau, M. Eichhorn: Spectral coherence, Part I: Passive resonator linewidth, fundamental laser linewidth, and Schawlow-Townes approximation. In: Progress in Quantum Electronics. In press. Jahrgang, Journal Pre-proof, 2020, S. 100255, doi:10.1016/j.pquantelec.2020.100255 (englisch).
1 2 3 4 5 N. Ismail, C. C. Kores, D. Geskus, M. Pollnau: Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency-dependent reflectivity. In: Optics Express. 24. Jahrgang, Nr. 15, 2016, S. 16366–16389, doi:10.1364/OE.24.016366, PMID 27464090, bibcode:2016OExpr..2416366I (englisch, diva-portal.org).
↑ M. Pollnau: Phase aspect in photon emission and absorption. In: Optica. 5. Jahrgang, Nr. 4, 2018, S. 465–474, doi:10.1364/OPTICA.5.000465 (englisch).
↑ H. S. Sommers: Spontaneous power and the coherent state of injection lasers. In: Journal of Applied Physics. 45. Jahrgang, Nr. 4, 1974, S. 1787–1793, doi:10.1063/1.1663491 (englisch).
↑ H. S. Sommers: Threshold and oscillation of injection lasers: a critical review of laser theory. In: Solid-State Electronics. 25. Jahrgang, Nr. 1, 1982, S. 25–44, doi:10.1016/0038-1101(82)90091-0 (englisch).
↑ Siegman, A. E. (1986) Lasers, University Science Books, Mill Valley, California, ch. 13, pp. 510–524.
↑ G. Björk, Y. Yamamoto: Analysis of semiconductor microcavity lasers using rate equations. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 27. Jahrgang, Nr. 11, 1991, S. 2386–2396, doi:10.1109/3.100877 (englisch).
↑ Sargent III, M.; Scully, M. O.; Lamb, Jr., W. E. (1993) „Laser Physics“, 6th edition, Westview Press, Ch. 17.
↑ R. D. Hempstead, M. Lax: Classical noise. VI. Noise in self-sustained oscillators near threshold. In: Physical Review. 161. Jahrgang, Nr. 2, 1967, S. 350–366, doi:10.1103/PhysRev.161.350 (englisch).
↑ Haken, H. (1970) „Laser Theory“, Vol. XXV/2c of Encyclopedia of Physics, Springer.
↑ K. Petermann: Calculated spontaneous emission factor for double-heterostructure injection lasers with gain-induced waveguiding. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. QE-15. Jahrgang, Nr. 7, 1979, S. 566–570, doi:10.1109/JQE.1979.1070064 (englisch).
↑ A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. I. Laser amplifiers. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1253–1263, doi:10.1103/PhysRevA.39.1253, PMID 9901361 (englisch).
↑ A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. II. Laser oscillators. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1264–1268, doi:10.1103/PhysRevA.39.1264, PMID 9901362 (englisch).
↑ W. A. Hamel, J. P. Woerdman: Nonorthogonality of the longitudinal eigenmodes of a laser. In: Physical Review A. 40. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 2785–2787, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474 (englisch).
↑ A. M. van der Lee, N. J. van Druten, A. L. Mieremet, M. A. van Eijkelenborg, Å. M. Lindberg, M. P. van Exter, J. P. Woerdman: Excess quantum noise due to nonorthogonal polarization modes. In: Physical Review Letters. 79. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 4357–4360, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474 (englisch).
↑ C. H. Henry: Theory of the linewidth of semiconductor lasers. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 18. Jahrgang, Nr. 2, 1982, S. 259–264, doi:10.1109/JQE.1982.1071522 (englisch).
↑ O. S. Heavens, Optical Masers (Wiley, New York, 1963).
↑ T. Okoshi, K. Kikuchi, A. Nakayama: Novel method for high resolution measurement of laser output spectrum. In: Electronics Letters. 16. Jahrgang, Nr. 16, 1980, S. 630–631, doi:10.1049/el:19800437 (englisch, ieee.org).
↑ J. W. Dawson, N. Park, K. J. Vahala: An improved delayed self-heterodyne interferometer for linewidth measurements. In: IEEE Photonics Technology Letters. 4. Jahrgang, Nr. 9, 1992, S. 1063–1066, doi:10.1109/68.157150 (englisch).
↑ E. H. Bernhardi, H. A. G. M. van Wolferen, L. Agazzi, M. R. H. Khan, C. G. H. Roeloffzen, K. Wörhoff, M. Pollnau, R. M. de Ridder: Ultra-narrow-linewidth, single-frequency distributed feedback waveguide laser in Al2O3:Er3+ on silicon. In: Optics Letters. 35. Jahrgang, Nr. 14, 2010, S. 2394–2396, doi:10.1364/OL.35.002394, PMID 20634841 (englisch).
↑ C. T. Santis, S. T. Steger, Y. Vilenchik, A. Vasilyev, A. Yariv: High-coherence semiconductor lasers based on integral high-Q resonators in hybrid Si/III-V platforms. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 111. Jahrgang, Nr. 8, 2014, S. 2879–2884, doi:10.1073/pnas.1400184111, PMID 24516134, PMC 3939879 (freier Volltext) – (englisch).
↑ L. W. Hollberg, CW dye lasers, in Dye Laser Principles, F. J. Duarte and L. W. Hillman (eds.) (Academic, New York, 1990) Chapter 5.

[Gordon1954-1] J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: Molecular microwave oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3. In: Physical Review. 95. Jahrgang, Nr. 1, 1954, S. 282–284, doi:10.1103/PhysRev.95.282 (englisch).

[Gordon1955-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: The maser−New type of microwave amplifier, frequency standard, and spectrometer. In: Physical Review. 99. Jahrgang, Nr. 4, 1955, S. 1264–1274, doi:10.1103/PhysRev.99.1264 (englisch).

[Maiman1960-3] T. H. Maiman: Stimulated optical radiation in Ruby. In: Nature. 187. Jahrgang, Nr. 4736, 1960, S. 493–494, doi:10.1038/187493a0 (englisch).

[Schawlow1958-4] 1 2 3 4 5 6 A. L. Schawlow, C. H. Townes: Infrared and optical masers. In: Physical Review. 112. Jahrgang, Nr. 6, 1958, S. 1940–1949, doi:10.1103/PhysRev.112.1940 (englisch).

[Pollnau2020-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 M. Pollnau, M. Eichhorn: Spectral coherence, Part I: Passive resonator linewidth, fundamental laser linewidth, and Schawlow-Townes approximation. In: Progress in Quantum Electronics. In press. Jahrgang, Journal Pre-proof, 2020, S. 100255, doi:10.1016/j.pquantelec.2020.100255 (englisch).

[IsmailPollnau2016-6] 1 2 3 4 5 N. Ismail, C. C. Kores, D. Geskus, M. Pollnau: Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency-dependent reflectivity. In: Optics Express. 24. Jahrgang, Nr. 15, 2016, S. 16366–16389, doi:10.1364/OE.24.016366, PMID 27464090, bibcode:2016OExpr..2416366I (englisch, diva-portal.org).

[Pollnau2018-7] M. Pollnau: Phase aspect in photon emission and absorption. In: Optica. 5. Jahrgang, Nr. 4, 2018, S. 465–474, doi:10.1364/OPTICA.5.000465 (englisch).

[Sommers1974-8] H. S. Sommers: Spontaneous power and the coherent state of injection lasers. In: Journal of Applied Physics. 45. Jahrgang, Nr. 4, 1974, S. 1787–1793, doi:10.1063/1.1663491 (englisch).

[Sommers1982-9] H. S. Sommers: Threshold and oscillation of injection lasers: a critical review of laser theory. In: Solid-State Electronics. 25. Jahrgang, Nr. 1, 1982, S. 25–44, doi:10.1016/0038-1101(82)90091-0 (englisch).

[Siegman1986-10] Siegman, A. E. (1986) Lasers, University Science Books, Mill Valley, California, ch. 13, pp. 510–524.

[Bjork1991-11] G. Björk, Y. Yamamoto: Analysis of semiconductor microcavity lasers using rate equations. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 27. Jahrgang, Nr. 11, 1991, S. 2386–2396, doi:10.1109/3.100877 (englisch).

[Sarget1993-12] Sargent III, M.; Scully, M. O.; Lamb, Jr., W. E. (1993) „Laser Physics“, 6th edition, Westview Press, Ch. 17.

[Hempstead1967-13] R. D. Hempstead, M. Lax: Classical noise. VI. Noise in self-sustained oscillators near threshold. In: Physical Review. 161. Jahrgang, Nr. 2, 1967, S. 350–366, doi:10.1103/PhysRev.161.350 (englisch).

[Haken1970-14] Haken, H. (1970) „Laser Theory“, Vol. XXV/2c of Encyclopedia of Physics, Springer.

[Petermann1979-15] K. Petermann: Calculated spontaneous emission factor for double-heterostructure injection lasers with gain-induced waveguiding. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. QE-15. Jahrgang, Nr. 7, 1979, S. 566–570, doi:10.1109/JQE.1979.1070064 (englisch).

[Siegman1989a-16] A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. I. Laser amplifiers. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1253–1263, doi:10.1103/PhysRevA.39.1253, PMID 9901361 (englisch).

[Siegman1989b-17] A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. II. Laser oscillators. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1264–1268, doi:10.1103/PhysRevA.39.1264, PMID 9901362 (englisch).

[Hamel1989-18] W. A. Hamel, J. P. Woerdman: Nonorthogonality of the longitudinal eigenmodes of a laser. In: Physical Review A. 40. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 2785–2787, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474 (englisch).

[vanderLee1997-19] A. M. van der Lee, N. J. van Druten, A. L. Mieremet, M. A. van Eijkelenborg, Å. M. Lindberg, M. P. van Exter, J. P. Woerdman: Excess quantum noise due to nonorthogonal polarization modes. In: Physical Review Letters. 79. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 4357–4360, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474 (englisch).

[Henry1982-20] C. H. Henry: Theory of the linewidth of semiconductor lasers. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 18. Jahrgang, Nr. 2, 1982, S. 259–264, doi:10.1109/JQE.1982.1071522 (englisch).

[21] O. S. Heavens, Optical Masers (Wiley, New York, 1963).

[Okoshi1980-22] T. Okoshi, K. Kikuchi, A. Nakayama: Novel method for high resolution measurement of laser output spectrum. In: Electronics Letters. 16. Jahrgang, Nr. 16, 1980, S. 630–631, doi:10.1049/el:19800437 (englisch, ieee.org).

[Dawson1992-23] J. W. Dawson, N. Park, K. J. Vahala: An improved delayed self-heterodyne interferometer for linewidth measurements. In: IEEE Photonics Technology Letters. 4. Jahrgang, Nr. 9, 1992, S. 1063–1066, doi:10.1109/68.157150 (englisch).

[Bernhardi2010-24] E. H. Bernhardi, H. A. G. M. van Wolferen, L. Agazzi, M. R. H. Khan, C. G. H. Roeloffzen, K. Wörhoff, M. Pollnau, R. M. de Ridder: Ultra-narrow-linewidth, single-frequency distributed feedback waveguide laser in Al2O3:Er3+ on silicon. In: Optics Letters. 35. Jahrgang, Nr. 14, 2010, S. 2394–2396, doi:10.1364/OL.35.002394, PMID 20634841 (englisch).

[Santis2014-25] C. T. Santis, S. T. Steger, Y. Vilenchik, A. Vasilyev, A. Yariv: High-coherence semiconductor lasers based on integral high-Q resonators in hybrid Si/III-V platforms. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 111. Jahrgang, Nr. 8, 2014, S. 2879–2884, doi:10.1073/pnas.1400184111, PMID 24516134, PMC 3939879 (freier Volltext) – (englisch).

[26] L. W. Hollberg, CW dye lasers, in Dye Laser Principles, F. J. Duarte and L. W. Hillman (eds.) (Academic, New York, 1990) Chapter 5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

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