Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit $(X, ω)$ ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur $J$ , welche mit der symplektischen Form $ω$ kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

$g (u, v) = ω (u, J v)$

auf dem Tangentialraum von $X$ an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit $X$ mit einer hermitischen Metrik $h$ , deren zugehörige 2-Form $ω$ geschlossen ist. Genauer gesagt, gibt $h$ eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum $T X$ an jedem Punkt von $X$ und die 2-Form $ω$ ist definiert durch

ω (u, v) = Re h (i u, v) = Im h (u, v)

für Tangentialvektoren $u$ und $v$ . Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik $g$ angesehen werden definiert durch

g (u, v) = Re h (u, v) .

Riemannsche Sichtweise

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $J : T M \to T M$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung $J : T M \to T M$ mit $J^{2} = - I d$ und $g : 𝒱 (M) \times 𝒱 (M) \to C^{\infty} (M; ℝ)$ eine riemannsche Metrik, wobei $𝒱 (M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf $M$ bezeichnet. Das Tripel $(M, J, g)$ heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

$g (J X, J Y) = g (X, Y)$

für alle Vektorfelder $X, Y \in 𝒱 (M)$ gilt und

$ω (X, Y) := g (J X, Y)$ eine symplektische Form

ist. Die 2-Form $ω$ heißt dann die Kähler-Form von $M$ und $g$ die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension $N$ , ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten $r$ -Formen als $Δ_{d} := d d^{*} + d^{*} d$ definiert, wobei $d$ die äußere Ableitung und $d^{*} := - (- 1)^{N r} ⋆ d ⋆$ ist und $⋆$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit $X$ werden $d$ und $d^{*}$ zerlegt als

d = \partial + \bar{\partial}, d^{*} = \partial^{*} + {\bar{\partial}}^{*},

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

Δ_{\bar{\partial}} := \bar{\partial} {\bar{\partial}}^{*} + {\bar{\partial}}^{*} \bar{\partial}, Δ_{\partial} := \partial \partial^{*} + \partial^{*} \partial .

Wenn $X$ Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

Δ_{d} = 2 Δ_{\bar{\partial}} = 2 Δ_{\partial} .

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit $X$ die Gleichheit

ℋ^{r} (X) = ⨁_{p + q = r} ℋ^{p, q} (X)

gilt, wobei $ℋ^{r}$ der Raum harmonischer $r$ -Formen auf $X$ (Formen $α$ mit $Δ α = 0$ ) und $ℋ^{p, q}$ der Raum harmonischer $(p, q)$ -Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform $α$ harmonisch ist, wenn alle ihre $(p, q)$ -Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit $X$ , gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie $H^{r} (X, ℂ)$ von $X$ mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

H^{r} (X, 𝐂) ≅ ⨁_{p + q = r} H^{q} (X, Ω^{p})

.

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von $X$ als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von $X$ als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

Der komplexe Raum $ℂ^{n}$ .
Ein kompakt komplexer Torus $ℂ ∖ Λ$ .
Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
Der komplexe projektive Raum $ℂ P^{n}$ und projektive Varietäten $X \subset ℂ^{n}$ .
Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
Hermitesche symmetrische Räume.
Jede K3-Fläche ist Kähler.
Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

Literatur

Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.

Weblinks

A.L. Onishchik: Kähler manifold. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).