Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jacob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

(q, p) \to (q^{'}, p^{'})

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

\tilde{H} (q^{'}, p^{'}, t) = 0

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $q^{'}$ , als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $p^{'}$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

\begin{matrix} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial p'_{k}} & = \dot{q}'_{k} = 0 \Leftrightarrow q'_{k} = c o n s t \\ - \frac{\partial \tilde{H}}{\partial q'_{k}} & = \dot{p}'_{k} = 0 \Leftrightarrow p'_{k} = c o n s t . \end{matrix}

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $S$ . Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

\tilde{H} (q^{'}, p^{'}, t) = H (q, p, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $S (q, p^{'}, t)$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $q$ und den neuen (konstanten) Impulsen $p^{'}$ abhängt, so dass

p_{k} = \frac{\partial S (q_{k}, p'_{k}, t)}{\partial q_{k}}, q'_{k} = \frac{\partial S (q_{k}, p'_{k}, t)}{\partial p'_{k}} .

Eingesetzt in $\tilde{H} = 0$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S$ :

H (q_{k}, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q_{k}$ und $t$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $S$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

S [q] (t) = \int_{0}^{t} L (s, q (s), \dot{q} (s)) d s

mit der Lagrange-Funktion $L$ . Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

\frac{d S}{d t} = L

.

Sieht man $S$ jedoch als Funktion der Koordinaten $q$ und $t$ an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

\frac{d S}{d t} = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \frac{d q_{k}}{d t} = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \dot{q_{k}}

.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

\frac{\partial S}{\partial q_{k}} = \int_{0}^{t} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d s = \int_{0}^{t} \frac{d}{d s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}} d s = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}} = p_{k}

mit den kanonischen Impulsen $p_{k}$ . Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von $S$ erhält man somit

\frac{d S}{d t} = L = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum p_{k} \dot{q_{k}}

,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. $H$ nicht explizit zeitabhängig: $H (q, p) \neq H (t)$ ) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S (q, p^{'})$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

H (q, p) \Rightarrow \tilde{H} (p^{'})

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

{\dot{p}}^{'} = - \frac{\partial \tilde{H} (p^{'})}{\partial q^{'}} = 0 \Leftrightarrow p^{'} = c o n s t,

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

{\dot{q}}^{'} = \frac{\partial \tilde{H} (p^{'})}{\partial p^{'}} = C \Leftrightarrow q^{'} = C t + b

mit

C, b = c o n s t .

Für $S (q, p^{'})$ muss gelten

p = \frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial q},

q^{'} = \frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial p^{'}}

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S (q, p^{'})$ für konservative Systeme:

H (q, p) \Rightarrow H (q, \frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial q}) = \tilde{H} (p^{'}) .

Zur Veranschaulichung von $S$ wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

\begin{matrix} \frac{d}{d t} S (q, p^{'}) & = \frac{\partial S}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial S}{\partial p^{'}} {\dot{p}}^{'} \\ = p \dot{q} + q^{'} {\dot{p}}^{'} \\ = p \dot{q} w e g e n {\dot{p}}^{'} = 0. \end{matrix}

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion $L = T - V$ , wobei $T$ die kinetische Energie ist, $V (q)$ das Potential):

\frac{d}{d t} S (q, p^{'}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \dot{q} = 2 T

.

Die zeitliche Integration liefert

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} 2 T d t = W,

also ist $S (q, p^{'})$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei $U = U (q)$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

H (p, q) = \frac{p^{2}}{2 m} + U (q),

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

\frac{1}{2 m} {(\frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial q})}^{2} + U (q) = \tilde{H} = E .

Beim eindimensionalen Oszillator ist $\tilde{H}$ die einzige Konstante der Bewegung. Da $p^{'}$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man $p^{'} = \tilde{H} = E$ , was für alle konservativen Systeme möglich ist.

{(\frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial q})}^{2} + 2 m U (q) = 2 m p^{'}

Durch Integrieren folgt

S (q, p^{'}) = \sqrt{2 m} \int_{q_{0}}^{q} \sqrt{(p^{'} - U (\tilde{q}))} d \tilde{q},

mit $q^{'} = \frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial p^{'}}$

q^{'} = \frac{m}{\sqrt{2 m}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d \tilde{q}}{\sqrt{p^{'} - U (\tilde{q})}} .

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

{\dot{q}}^{'} = \frac{\partial \tilde{H} (p^{'})}{\partial p^{'}} = \frac{\partial E}{\partial p^{'}} = \frac{\partial p^{'}}{\partial p^{'}} = 1,

\Rightarrow q^{'} = t - t_{0} .

Um die Bewegung in $p (t)$ und $q (t)$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

p (t) = \frac{\partial S (q, p^{'})}{\partial q} = \sqrt{2 m (p^{'} - U (q))},

q^{'} = t - t_{0} = \frac{m}{\sqrt{2 m}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d \tilde{q}}{\sqrt{E - U (\tilde{q})}} .

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit $U (q) = \frac{1}{2} a q^{2}$

p (t) = \sqrt{2 m (E - \frac{1}{2} a q^{2})},

q^{'} = t - t_{0} = \frac{m}{\sqrt{2 m}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d \tilde{q}}{\sqrt{E - \frac{1}{2} a {\tilde{q}}^{2}}} .

Somit (für den Fall $q_{0} = 0$ )

t - t_{0} = \sqrt{\frac{m}{a}} \arcsin \sqrt{\frac{a}{2 E}} q

und letztlich

q (t) = \sqrt{\frac{2 E}{a}} \sin \sqrt{\frac{a}{m}} (t - t_{0}),

p (t) = \sqrt{2 m E} \cos \sqrt{\frac{a}{m}} (t - t_{0}) .

Literatur

Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.

Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.