Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus von Abelschen Varietäten und eine Isogenie, wenn surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie , so heißen die Abelschen Varietäten und isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.

Definition

Sind und Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus äquivalent:

• ist eine Isogenie, das heißt ist surjektiv und der Kern von ist endlich.
• und besitzen die gleiche Dimension und ist surjektiv.
• und besitzen die gleiche Dimension und der Kern von ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man und isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Literatur

• Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch). 
• David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).