Hopf-Algebra

Hopfalgebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

Bialgebra

Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – $H$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist eine Bialgebra $(H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )$ mit einer $\mathbb {K}$ -linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, $S\colon H\to H$ , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das: $S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon \left(c\right)1.$

Faltung und Antipode

Sei $A$ eine Algebra und $C$ eine Koalgebra. Die $\mathbb {K}$ -linearen Abbildungen von $C$ nach $A$ bilden eine Algebra mit Produkt $*$ , genannt Faltung, definiert durch

(f*g)(x):=f(x_{(1)})g(x_{(2)})

.

Das neutrale Element in dieser Algebra ist $\eta \circ \epsilon$ , denn

(f*(\eta \circ \epsilon ))(x)=f(x_{(1)})\eta (\epsilon (x_{(2)}))=f(x_{(1)}\epsilon (x_{(2)}))\eta (1)=f(x)

und entsprechend auch

((\eta \circ \epsilon )*f)(x)=f(x)

.

Für eine Bialgebra $H$ bilden die $\mathbb {K}$ -linearen Abbildungen von $H$ nach $H$ auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode $S$ ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

S*\mathrm {id} =\eta \circ \epsilon =\mathrm {id} *S

.

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopf-Algebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopf-Algebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

Beispiele

Gruppenalgebra

Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra $\mathbb {K} G$ . Sie wird durch

\Delta (g):=g\otimes g

für

g\in G

und

\epsilon (g):=1

für

g\in G

zu einer Bialgebra, die Antipode

S(g):=g^{-1}

für

g\in G

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ einer Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element $x\in {\mathfrak {g}}$ ist das Koprodukt durch

\Delta (x):=1\otimes x+x\otimes 1

und die Koeins durch

\epsilon (x):=0

definiert.

S(x):=-x

definiert die Antipode.

Gruppenartige und primitive Elemente

Ein Element $g$ einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn $\Delta (g)=g\otimes g$ und $\epsilon (g)=1$ . Für die Antipode gilt dann $S(g)=g^{-1}$ .

Ein Element $x$ heißt „primitiv“, wenn $\Delta (x)=1\otimes x+x\otimes 1$ . Daraus folgt, dass $\epsilon (x)=0$ und $S(x)=-x$ .

Ein Element $x$ heißt „schiefprimitiv“, wenn $\Delta (x)=g\otimes x+x\otimes h$ mit gruppenähnlichen Elementen $g$ und $h$ . Daraus folgt, dass $\epsilon (x)=0$ und $S(x)=-g^{-1}xh^{-1}$ .

Literatur

Christian Kassel: Quantum Groups (= Graduate Texts in Mathematics. 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.
Moss E. Sweedler: Hopf algebras. Benjamin, New York NY 1969.