Volumen

Das Volumen (Plural Volumen oder Volumina; von lateinisch volumen „Windung, Krümmung“, aus volvere „wälzen, rollen“), auch: Raum- oder Kubikinhalt, ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers. Übliches Formelzeichen ist $V$.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Körpers. Die (kohärente) SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m³). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Einheit Liter ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1 dm³ (10×10×10 cm³) definiert.

Technisch muss unterschieden werden:

• Hohlvolumen, der freie Raum innerhalb gewisser Grenzen, etwa das Fassungsvermögen eines Behälters
• Rauminhalt, das Volumen fester Körper, von Flüssigkeiten oder Gasen

Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen aus dem Alten Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden

Siehe auch: Volumenmessgeräte

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

• Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
• Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z. B. Zylinder) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
• Bei einem Körper mit einer bekannten Dichte lässt sich das Volumen auch erwiegen.

Volumen-Berechnung

Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein Maß für Teilmengen des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Allerdings kann nicht sämtlichen beschränkten Teilmengen in sinnvoller Weise ein Volumen zugeordnet werden, wie das Banach-Tarski-Paradoxon zeigt. Das Volumen lässt sich aber einheitlich und präzise definieren als der (dreidimensionale) Jordan-Inhalt oder, umfassender, als das Lebesgue-Maß von Jordan- bzw. Lebesgue-messbaren Teilmengen des $\mathbb {R} ^{3}$ und hängt dann eng mit dem (dreidimensionalen/dreifachen) Riemann- bzw. Lebesgue-Integral im $\mathbb {R} ^{3}$ zusammen.

Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich $B$ im $\mathbb {R} ^{3}$) durch ein Dreifachintegral $\textstyle \mathrm {V} =\iiint _{B}\mathrm {d} V$ beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

Physikalische Größe
Name	Volumen Rauminhalt
Formelzeichen	$V$
Abgeleitet von	Länge
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI m3 L3 cgs cm3 L3 Planck Planck-Volumen $l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}$

Körper	Volumen	Parameter
Würfel	$V=a^{3}\;$
Quader	$V=abc$
Prisma (Grundfläche G)	$V=Gh$
Pyramide (Grundfläche G)	$V={\frac {1}{3}}Gh$
Kugel	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Ellipsoid	$V={\frac {4}{3}}\pi abc$
senkrechter Kreiszylinder	$V=\pi r^{2}h$
senkrechter Kreiskegel	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
Torus	$V=2\pi ^{2}Rr^{2}$
Rotationskörper	$V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$
Körper mit stetiger Querschnittsfläche $A(x)$ (z. B. Steinmetz-Körper)	$V=\int _{a}^{b}A(x)\mathrm {d} x$	Für den Rotationskörper ist $A(x)=\pi f(x)^{2}$

Verallgemeinerung

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler Hyperwürfel mit Kantenlänge $a$ ein Volumen von $a^{n}$.

Das Volumen einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert durch Integration der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

Hohlraum

Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Sein Volumen wird als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe Porosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist das allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die Hohlraumstrahlung.

Beispiele: Hohlraum

• … als Gefäß: Flasche, Tank, Verdauungssystem, Schwamm
• … als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
• … als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, Lunker

Siehe auch

• Banach-Tarski-Paradoxon und Maßtheorie, zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt
• Liste von Größenordnungen des Volumens
• Raummaß

Weblinks

Wiktionary: Rauminhalt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Volumen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Edmund Hlawka: Zur Geschichte des Inhaltsbegriffes