„Hessesche Normalform“ – Versionsunterschied

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Version vom 20. Januar 2010, 13:46 Uhr

$P\left(6|6|6\right)$

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+<math>
-[[Bild:Hessesche Normalform 1.png|thumb|Darstellung von Normale und Abstand der hesseschen Normalform]]
+P\left(6|6|6\right)
-Die '''hessesche<!-- schreibt man klein! --> Normalform''' ('''Hesse-Normalenform'''), benannt nach [[Ludwig Otto Hesse]], ist in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] eine Gleichung, die eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] (''E'') im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\mathbb{R}^3</math> oder eine [[Gerade]] (''g'') im <math>\mathbb{R}^2</math> beschreibt und hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet wird. In [[Vektor|vektorieller]] Schreibweise lautet sie
+</math>
-:<math>{\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}</math>.
-Ein Punkt ''P'', der in einem gegebenen [[Koordinatensystem]] den [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math> hat, liegt genau dann in der Ebene ''E'' (auf der Geraden ''g''), wenn diese Gleichung erfüllt ist.
-Dabei steht <math>\vec n_0</math> für den [[Glossar mathematischer Attribute#normiert|normierten]] [[Normalenvektor]] (Normaleneinheitsvektor) von ''E'' bzw. ''g'', der vom Koordinatenursprung zur Ebene bzw. Geraden zeigt. <math>d \ge 0</math> ist der Abstand der Ebene (der Geraden) vom Ursprung des Koordinatensystems. Das Multiplikationszeichen <math>\cdot</math> drückt ein [[Skalarprodukt]] aus.
-== Herleitung/Berechnung aus der Normalgleichung ==
-Vorbemerkung: Aus Gründen der Einfachheit ist im Folgenden jeweils von einer Ebene die Rede. Die Überlegungen lassen sich aber auf den Fall einer Geraden übertragen.
-In der [[Normalgleichung]]
-:<math>({\vec r -\vec a)\cdot \vec n = 0}</math>,
-ist die Ebene durch einen [[Normalenvektor]] <math>\vec n</math> sowie einen beliebigen Ortsvektor <math>\vec a</math> eines Punktes <math>A \in E</math> gegeben. Die Richtung von <math>\vec n</math> sei so gewählt, dass
-:<math>\vec a\cdot \vec n \geq 0</math> ist.
-Indem man <math>\vec n</math> durch seinen [[Vektor#Betrag eines Vektors|Betrag]] <math>| \vec n |</math> dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor
-:<math>\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}</math>
-und es gilt
-:<math>(\vec r -\vec a)\cdot \vec n_0 = 0</math>.
-Indem man
-:<math>d = \vec a\cdot \vec n_0 > 0</math>
-berechnet, erhält man die hessesche Normalform
-:<math>{\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}</math>.
-<center>[[bild:Ebene Hessesche Normalform.PNG]]</center>
-''d'' ist hierin der Abstand vom Ursprung. Da <math>\vec r \cdot \vec n_0 = d</math> für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt ''Q'' (Fußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die Ebene E) mit <math>\vec r = \vec r_s</math>. Dann ist nach [[Definition]] des [[Skalarprodukt]]es
-:<math>d = \vec r_s \cdot \vec n_0 = |\vec r_s| \cdot |\vec n_0| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec r_s| \cdot 1 = |\vec r_s|</math>.
-Der Betrag <math>|\vec r_s|</math> von <math>{\vec r_s}</math> ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.
-== Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem ==
-Sind die Ortsvektoren <math>\vec a</math>, <math>\vec b</math> und <math>\vec c</math> von drei Punkten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> der Ebene gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, und will man daraus die hessesche Normalform berechnen, wertet man die folgenden Gleichungen aus:
-:<math>(\vec b - \vec a) \cdot \vec n = 0 ,</math>
-:<math>(\vec c - \vec a) \cdot \vec n = 0 .</math>
-Dieses Gleichungssystem wird erst dadurch eindeutig lösbar, dass man als zusätzliche Bedingung die Normierung
-:<math>|\vec n| = 1 ,</math>
-also
-:<math>\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1\ \Rightarrow \ n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1</math>
-verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag (die <math>l_{2}</math>-Norm) <math>|\vec n|</math> des Vektors <math>\vec n</math> zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man <math>\vec n</math> durch <math>|\vec n|</math> dividiert.
-=== Beispiel ===
-:<math>\vec a = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \quad
-\vec b = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}; \quad
-\vec c = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.
-:<math>\vec b - \vec a = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>
-:<math>\vec c - \vec a =  \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
-Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem:
-:<math>-n_1 - n_2 + n_3 = 0</math>
-:<math>-2 n_1 + n_2 = 0</math>
-:<math>\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1</math>
-Lösung:
-:<math>\vec n = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>
-:<math>d = \vec a \cdot \vec n = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}}</math>
-Hessesche Normalform:
-:<math>\frac {\left(\vec r \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) - 4}{\sqrt{14}} = 0</math>
-== Berechnung über das Kreuzprodukt ==
-Ein anderer Weg zur Berechnung des [[Normalenvektor]]s führt über das [[Kreuzprodukt]] der beiden Richtungsvektoren. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis
-:<math>\vec n = (\vec b - \vec a) \times (\vec c - \vec a)</math>,
-wobei man aber auch hier im Allgemeinen <math>\vec n</math> noch normieren muss:
-:<math>\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}} .</math>
-Nun gilt:
-:* <math>d = |\vec a| \cdot \cos \phi</math>
-:* <math>\vec a \cdot \vec n = |\vec a| \cdot |\vec n| \cdot \cos \phi</math> (Definition des Skalarprodukts)
-:* Da <math>\vec n_0</math> auf die Länge 1 normiert ist, kann man schreiben: <math>\vec a \cdot \vec n_0 = |\vec a| \cdot 1 \cdot \cos \phi = |\vec a| \cdot \cos \phi = d</math>.
-Also ergibt sich aus <math>d = \vec a  \cdot \vec n_0</math> schließlich wieder der Abstand der Ebene zum Nullpunkt. Diese Abstandsberechnung ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der hesseschen Normalform.
-== Anwendung zur Abstandsberechnung ==
-Allgemein erhält man den Abstand ''s'' eines beliebigen Punktes ''P'' von der Ebene ''E'', indem man den Ortsvektor <math>\vec p</math> von ''P'' für <math>\vec r</math> in die linke Seite der hesseschen Normalform einsetzt:
-:<math>{s = \vec p\cdot \vec n_0 - d}</math>
-Ist <math>s < 0</math>, so liegt ''P'' in demselben Halbraum von ''E'' wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen von ''s'' hingegen im anderen Halbraum.
-== Verallgemeinerung ==
-Die hessesche Normalform (nicht aber die Berechnung über das Kreuzprodukt) kann man ganz allgemein zur Beschreibung (''n-1'')-dimensionaler [[Hyperebene]]n im ''n''-dimensionalen Raum verwenden.
-== Siehe auch ==
-* [[Geradengleichung]]
-* [[Parameterdarstellung]]
-[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
-[[en:Hesse normal form]]