Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis) $\gamma$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\vec {X}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\vec {\mu }}_{X}$

${\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}$.

Daher folgt: $\gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}$. Die SI-Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s⁻¹·T⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors $g$ und seines Magnetons $\mu$, bezogen auf die reduzierte Planck-Konstante $\hbar$:

$\gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}$

mit

• $\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar$ dem Magneton des Teilchens
• $q$: elektrische Ladung
• $m$: Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes bestimmt werden. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von $\gamma$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γ_ℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:

${\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}$.

Mit

• $-e$ der Ladung des Elektrons
• $m_{e}$ seiner Masse.

Daher folgt:

$\gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}$.

Mit

• $\mu _{\mathrm {B} }$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also $g_{\ell }=1.$

γ_S für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\vec {S}}$, so gilt:

${\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}$, beziehungsweise $\gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}$

Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

• für das freie Proton:

$\gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$

• für das Elektron:

$\gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$

dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist bei einem freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2, ein Wert, der sich theoretisch (Dirac-Gleichung) mit QED-Korrekturen sehr gut erklären lässt. Bei einem freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert $|e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,$), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, nämlich das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als Ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zur Richtung seines Spins. Dies lässt sich durch die Substruktur von Proton und Neutron erklären.

Die elektronischen g-Faktoren der ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d. h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus mit nur einem geringen Bahnanteil ist.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.

Kern	$\gamma _{n}$ in 107 rad·s−1·T−1	$\gamma _{n}/2\pi$ in MHz·T−1
1H	+26,752	+42,577
2H	0+4,1065	0+6,536
3He	−20,3789	−32,434
7Li	+10,3962	+16,546
13C	0+6,7262	+10,705
14N	0+1,9331	0+3,077
15N	0−2,7116	0−4,316
17O	0−3,6264	0−5,772
19F	+25,1662	+40,053
23Na	0+7,0761	+11,262
31P	+10,8291	+17,235
35Cl	+2,6237	+4,176
129Xe	0−7,3997	−11,777

Siehe auch

• Larmorfrequenz

Literatur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.